1、-1-一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条
2、直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内;drC2、点在圆上 点在圆上;drB3、点在圆外 点在圆外;drA练习题:一个圆的直径为练习题:一个圆的直径为,到圆心的距离为,到圆心的距离为,则该点在圆,则该点在圆 cm8cm5三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;drrddCBAO-2-2、直线与圆相切 有一个交点;dr3、直线与圆相交 有两个交点;drdrd=rrd练习题:、一个点到圆的最短距离为练习题:、一个点到圆的最短距离为,到圆的最长距离为,到圆的最长距离为,则这个圆的半径为,则这个圆的半径为 cm3cm9四、圆与圆的位置关系外离(图 1)无交点 ;dRr外切(图 2)有
3、一个交点 ;dRr相交(图 3)有两个交点 ;RrdRr内切(图 4)有一个交点 ;dRr内含(图 5)无交点 ;dRr周 1rRd 周 3rRd 五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;周 2rRd周 4rRd周 5rRd-3-OCBA (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即:是直径 弧弧 弧弧AB
4、ABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在中,OABCD 弧弧ACBD六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论,即:;AOBDOE ABDE;弧弧OCOFBABD练习题:如图,练习题:如图,O 为为的外心,若的外心,若,则则=ABC050BACOBC 七、圆周角定理OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO-4-5周 周DCBAOCBA6周 周1、圆周角定理:同弧所
5、对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在中,、都是所对的圆周角OCD CD 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在中,是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在中,ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
6、6 6、如图四边形、如图四边形 ABOC,(O 为圆心)为圆心),若,若,则则0130BOC_ADCBAOCBAOCBAO-5-7周 周CBAO八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在中,O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 练习题练习题 5:边形:边形 ABCD 内接于内接于OO,若,若,则则0150ABC_ADC7、如图,、如图,,则则0110AOB_ACB九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:且过半径外端MNOAMNO
7、A 是的切线MNO(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。EDCBANMAO-6-MAOB11周周11、如图,、如图,OO 的半径为的半径为 6 6,弦,弦,M,M 是弦是弦 ABAB 上的动点,最线段上的动点,最线段 OMOM 的最小值为的最小值为 10AB,最大值为,最大值为 十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两
8、条切线PAPB PAPB 平分POBPA十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在中,弦、相交于点,OABCDP PA PBPC PD(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。PBAOPODCBAOEDCBA-7-即:在中,直径,OABCD 2CEAE BE(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在中,是切线,是割线OPAPB 2PAPC PB(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即:在中,、是
9、割线OPBPE PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。12OOAB即:、相交于、两点1O2OAB 垂直平分12OOAB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:中,;12Rt OO C22221122ABCOOOCO(2)外公切线长:是半径之差;内公切线长:是半径之和。2CO2CODECBPAOBAO1O2CO2O1BA-8-十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:OABCRt BOD;:1:3:2OD BD OB(2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,Rt OA
10、E::1:1:2OE AE OA(3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:;180n Rl(2)扇形面积公式:213602n RSlR:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长:扇形面积nRlSDCBAOECBADOBAOSlBAO-9-2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhr(2)圆柱的体积:2Vr h(2)圆锥侧面展开图(1)=SSS侧表底2Rrr(2)圆锥的体积:213Vr h周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBAB1RrCBAO-10-中考真题中考真题1(陕西)如图,在 RTABC 中ABC=90,斜边 AC 的垂直平分线交 BC 与D 点,交 AC 与 E 点,连接 BE(1)若 BE 是DEC 的外接圆的切线,求C 的大小?(2)当 AB=1,BC=2 是求DEC 外界圆的半径2(安徽)如图所示,在圆O 内有折线 OABC,其中 OA8,AB12,AB60,则 BC 的长为()A19 B16 C18 D203(福州).(满分 11 分)如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 与点 E,点 P 在O 上,1=C,(1)求证:CBPD;(2)若 BC=3,sinP=,求O 的直径。35-10-BAO