必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案).doc

人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1. 利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1. 平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点： 平面基本性质的掌握与运用.教学关键： 让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法： 探究讨论，讲练结合法学习方法： 学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备： 投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板学生准备： 直尺、三角板教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创 设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情 境一些 能看得见的平面 实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导 入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统多媒体教案续上表1. 平面含义随堂练习 判定下列命题是否正确：主题 书 桌 面 是 平 面 ；探究 8 个平面重叠起来要比合作6 个平面重叠起来厚；交流 有 一 个 平 面 的 长 是50m，宽是 20m；平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学 习 习惯 . 数 形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（ 1）平面的画法： 水平放 样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45，且横边 之后教师加以肯定，解说、画成邻边的2 倍长（如图） 类比，将知识迁移，得出平面的画法：DCAB如果几个平面画在一起，主题 当一个平面的一部分被另一个探究 平面遮住时，应画成虚线或不合作 画（打出投影片） 交流（ 2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等 .（ 3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面 内，记作：A ; 点 B 在平面 外，记作： B通过类比探索，培养学生知识迁移能力，加强知识的系统性 .BA2续上表人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A B C 教师引导学生思考教材 P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实 引导 学生 归纳出 公理主题探究合作交流符号表示为A LB L? L ? A B 公理 1：判断直线是否在平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A B L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 ，使 A 、 B 、 C .公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .PL符号表示为： P ? =L，且 P L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等通过类比引导学生归纳出公理探索，培2养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有 且 只 有 一 个 平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理33教师备课系统多媒体教案续上表拓展4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高提高的正确使用 .1平面的概念， 画法及表示方法 .培养学2平面的性质及其作用生归纳3符号表示整合知4注意事项学生归纳总结、教师给识 能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1. 下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面； （ 2）一个平面的面积可以等于 6cm2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）A . 0B . 1C. 2D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）A . A bB. A bC. A bD . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）ABCD4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分 .答案： 1. A2. B3. D4. 3 或 4第 2 课时教学内容2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1. 了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）2. 理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3. 理解并掌握公理 4 和等角定理；4. 理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1. 异面直线的概念 .2. 公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教 师 给 出 长 方 体 模多媒体5教师备课系统多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两 条直 线有如 下三种 关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系效率 .探索点；异面直线： 不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-ABCD 中 ，如果两条直线都与第三条讲解让BB AA， DD AA， 那么 BB 与直线平行，那么这两条直学生掌DD 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用生：是强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a/b， b/c， 那么 a/c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上， 我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行， 那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）互补 . ADC 与ADC 、备 . ADC与 ABC 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生： ADC =ADC ， ADC + ABC = 180 4. 异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索 间中任一点 O 作直线 a a、b b，我新知 们把 a与 b所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角） 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理师： a与 b所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流， 两条异面直线所成的导出异角 （ 0， ）；面直线2所成的 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这 两条 异面直 线互相 垂例 3 让直，记作 a b；学生掌 两条直线互相垂直， 有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2计算异面直线所成的角应注意什学生归纳， 然后老师补识，形小结充、完善成整体么？思维课堂作业1. 异面直线是指（）A. 空间中两条不相交的直线B. 分别位于两不同平面内的两条直线C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线D. 不同在任何一个平面内的两条直线2. 如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）A. 2 对B . 3 对C. 4 对D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中与棱AA1 平行的棱共有（）A. 1 条B . 2 条C. 3 条D. 4 条4.空 间 两 个 角、， 且与的 两 边 对 应 平 行 ， 若=60 ， 则的 大 小 为（）.答案： 1. D2.B3. C4. 60 或 120第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1. 了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2. 提高空间想象能力 .二、过程与方法1. 通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2. 利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识 .三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物， 让学生观察事物、思考关系， 讲练结合， 较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创 设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统多媒体教案情 境种位置关系？面；回顾，导 入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个 作 业 本 所 在 平 面 有 几 种 位 置 关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行师肯定并板书，点出主题 .1直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内 有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交 有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行 没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书） 情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、 符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时， 要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a. 图形语言是：10人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）续上表2平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书， 看下两个问题（投影） 作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示， 围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD 没有公共点，两个平面相交ABCD的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书） 类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来学生（ 3）平面与平面的位置关系探究 没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交 有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是 . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l .若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1C. 2D. 3例2 已知平面，直线a ，求证 a .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与 相交 . a 与 有公共点 .又 a. a与 有公共点，与面面矛盾 . .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1 所在直线有无数点通过模在 平型来研面究问题ABCD的 方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题不正确； A1B1 所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1 显然不目标训平行于 BD，所以命题不正确；练学生A1 B1AB，A1B1 所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明， 发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成， 并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、 教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “ 分 类 讨 论 ” 数 学 思想的灵活性与严谨性 .12人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A 一条直线不相交B两条直线不相交C任意一条直线都不相交D 无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“ l /”的（）A充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮 挡.答案：略4已知，直线 a， b，且，a， b，则直线a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面5如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ，点 P， P m， m l ，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m，则 l m.又知 l m， mmP ，由平行公理可知，m 与 m重合 .所以 m.13教师备课系统多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1. 了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2. 理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3. 通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点 ：公理一、二、三，实践活动感知空间图形教学难点 ：公理三，由抽象图形认识空间模型学法指导 ：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论， 由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）图 2（ 1）图 2（2）3. 倾斜放置的平面图 34. 请将以下四图中，看得见的部分用实线描出图 4（1）图 4（ 2）图 4（3）图 4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o ，且横边长等于其邻边长的2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图6.FADADBECBC图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点A 在平面内，记为A；点 B 在平面外，记为 B（如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .Al , Bl , 且 A, B,lAlB图 8例 1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形AAaa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）A_ a；A_ ，B_ a； B_ ，Aa_ ；a_ = B，Bbb_ ；B_ ba图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中数学2 必修（A 版）的直线 .Pl 且 P lPl图 13例 3如图 14 用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】 根据图形， 先判断点、 直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , aA , aB .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1 4.四、课堂小结l , a, b, alP , B