微分几何练习试题库与参考答案解析(已修改).doc

《微分几何》复习题与参考答案
一、填空题
1．极限．
2．设，，求 0 ．
3．已知 ，，，则.
4．已知（为常向量），则．
5．已知，（为常向量），则 ．
6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.
7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .
8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .
9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .
10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .
11. 若在点处则为曲面的_ 正常______点.
12． 已知，，，则．
13．曲线在任意点的切向量为．
14．曲线在点的切向量为．
15．曲线在点的切向量为．
16．设曲线，当时的切线方程为．
17．设曲线，当时的切线方程为.
18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________.
19. u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.
20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u－曲线 的夹角.
21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .
22．已知，其中，则．
23．已知，其中，，则．
24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．
25．如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．
26．平面的第一基本形式为，面积微元为．
27．悬链面第一基本量是．
28．曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是.
29．正螺面的第一基本形式是．
30．双曲抛物面的第一基本形式是．
31．正螺面的平均曲率为 0 ．
32．方向是渐近方向的充要条件是．
33. 方向和共轭的充要条件是．
34.是主曲率的充要条件是．
35.是主方向的充要条件是．
36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则．
37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．
38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面P上的正投影曲线(C*)的曲率．
39．之间的关系是．
40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．
41．正交网时测地线的方程为
．
42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .
二、单项选择题
1．已知，则为（ A ）．
A. ； B. ； C. ； D. .
2．已知，为常数，则为（ C ）．
A. ； B. ； C. ； D. .
其中为常向量．
3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．
A．切线与固定方向成固定角； B．副法线与固定方向成固定角；
C．主法线与固定方向垂直； D．副法线与固定方向垂直．
4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）
A．至少有两个； B．只有一个； C．只有两个； D．可能没有.
5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）
A．测地线； B．曲率线； C．法截线； D．渐近线．.
6. 已知，求为（ D ）．
A. ； B. ；
C. ； D. .
7．圆柱螺线的切线与轴（ C ）.
A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角； D. 有固定夹角.
8．设平面曲线，s为自然参数，是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．
A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .
9．直线的曲率为（ B ）．
A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.
10．关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）．
A. ； B. ，为的旋转角；
C. ； D. .
11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．
A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件.
12．下列论述不正确的是（ D ）．
A. 均为单位向量； B. ； C. ； D. .
13．对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．
A. 充分不必要条件；　　　　　　　　　　　B.　必要不充分条件；
C. 既不充分也不必要条件；　　　　　　　　D.　充要条件.
14．在点的切线与轴关系为（ D ）．
A. 垂直；　　B.　 平行； C. 成的角；　　　D. 成的角.
15．椭球面的参数表示为（ C ）．
A. ；
B. ；
C. ；
D. .
16．曲面在点的切平面方程为（ B ）．
A. ； B. ；
C. ； D. .
17．球面的第一基本形式为（ D ）．
A. ； B. ；
C. ； D. .
18．正圆柱面的第一基本形式为（ C ）．
A. ； B. ； C ； D .
19．在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（ B ）．
A． ； B． ；
C． ； D． ．
20．设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．
A． ； B． ； C． ； D． ．
21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．
A．极小曲面； B．球面； C．常高斯曲率曲面； D．平面．
22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．
A． ； B． ； C．； D． 3．
23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．
A． ； 　 B． ；
C． ； 　 D． ．
24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．
A． 直线； 　B． 平面曲线； 　 C． 抛物线； 　 D． 圆柱螺线．
三、判断题（正确打√，错误打×）
1. 向量函数具有固定长度，则. √
2. 向量函数具有固定方向，则. √
3. 向量函数关于t的旋转速度等于其微商的模. × 　 　　
4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. ×
5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线. √
6. 圆柱面线是渐近线. √ 　　　
7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. ×　
8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.　 √
9. 等距变换一定是保角变换. √
10. 保角变换一定是等距变换. ×
11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×
12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． ×
13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√
14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √
15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×
16. 曲面上的直线一定是测地线．√
17. 微分方程表示曲面上曲线族. ×
18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. ×
19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. √
20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √
21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. ×
22. 球面上的圆一定是测地线. ×
23. 球面上经线一定是测地线. √
24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √
四、计算题
1．求旋轮线的一段的弧长．
解 旋轮线的切向量为，则在一段的弧长为：．
2．求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量．
解 由题意知 　，
，
在原点，有 ，
又 ，，
所以有.
3．圆柱螺线为，
①求基本向量； ②求曲率k和挠率.
解 ①，，
又由公式

②由一般参数的曲率公式及挠率公式
有，.
4．求正螺面的切平面和法线方程．
解 ，，切平面方程为
，

法线方程为．
5．求球面上任一点处的切平面与法线方程．
解 ， ，

球面上任意点的切平面方程为

即，
法线方程为

即．
6．求圆柱螺线在点处的密切平面.
解
所以曲线在原点的密切平面的方程为

即.
7．求旋转抛物面的第一基本形式．
解 参数表示为，，，
，，，
．
8．求正螺面的第一基本形式．
解 ，，
，，，．
9．计算正螺面的第一、第二基本量．
解 ，，
，，，
，
，
，，，
，，．
10．计算抛物面的高斯曲率和平均曲率．
解 设抛物面的参数表示为，则
，，，，，
，
，
， ，
， ， ，
，
．
11. 计算正螺面的高斯曲率.
解 直接计算知
，，，，，，
．
12. 求曲面的渐近线.
解 ，则，，，，
所以，L=0， ，
渐近线微分方程为，
化简得，
渐近线为y=C1，x2y=C2
13. 求螺旋面上的曲率线.
解

，
曲率线的微分方程为:
或
积分得两族曲率线方程:

14. 求马鞍面在原点处沿任意方向的法曲率.
解 ，

，

， .
15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.
解 曲面方程即

，
代入主曲率公式，，所以两主曲率分别为 .
16. 求曲面在点(1,1)的主方向.
解

代入主方向方程，得,
即在点(1,1)主方向.
17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点．
解 由 得

①v>0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v=0时，是抛物点.
18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程．
解 由 得

令 得u=0 或v=0
所以抛物点的轨迹方程为 或.
19.求圆柱螺线自然参数表示.
解 由得
弧长
曲线的自然参数表示为
20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.
解 设挠曲线为则主法线曲面为：
则
所以腰曲线是
21．求位于正螺面上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率．
解 因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v-曲线，由得．由正交网的坐标曲线的测地曲率得．
五、证明题
1. 设曲线：证明：
证明 ⑴由伏雷内公式，得
两式作点积，得

⑵

2. 设曲线： 证明：
证明 由伏雷内公式，得

3. 曲线G:是一般螺线，证明也是一般螺线（R是曲线G的曲率半径）．
证明
两边关于s微商，得

由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线.
4. 证明曲线是常数是一般螺线．
证明

.
5．曲面S上一条曲线(C), P是曲线(C)上的正常点，分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明．
证明 测地曲率 (是主法向量与法向量的夹角)
法曲率

6. 证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角．
证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：，则有：
，故夹角为.
由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．
7．证明：若和对一切线性相关，则曲线是直线．
证明 若和对一切线性相关，则存在不同时为0的使
，
则
又，故有.于是该曲线是直线．
8． 证明圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交．
证明 由题意有
，
由知.
另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直．
9．证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点．
证明 由题意可得，则任意点的法平面为
将点（0,0,0）代入上述方程有
左边右边，
故结论成立．
10．证明曲线为平面曲线，并求出它所在的平面方程.
证明 ，，
，
，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面
，
密切平面方程为，
化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z–27＝0.
11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.
证明 设曲线方程，定点的向径为，则

两边求微商，得
由于线性无关，∴
∴ k＝0曲线是直线.
12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.
证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ，
则曲面在任一点的密切平面方程为
因任一点的密切平面过定点，所以
, 即
所以 平行于固定平面， 所以 是平面曲线.
13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量，证明曲线是直线或平面曲线.
证明 根据已知条件，得，
①两边求导，得 ，由伏雷内公式得 ，
ⅰ)，则曲线是直线；
ⅱ) 又有①可知 ‖
因是常向量，所以是常向量，
于是 所以 ，所以曲线为平面曲线.
14. 设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.
证明 ,
由伏雷内公式得 进而
15. 证明挠曲线（）的主法线曲面是不可展曲面.
证明 设挠曲线为，则挠率，
其主法线曲面的方程是： 取，则
所以,
所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 　
16. 证明挠曲线（）的副法线曲面是不可展曲面.
证明 设挠曲线为，则挠率，
其副法线曲面的方程是：
取，则
所以, ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 　　
17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
证明 设曲线则曲线的主法线曲面为

沿曲线（v＝0）
所以主法向量与曲面的法向量夹角
所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.
18. 证明二次锥面沿每一条直母线只有一个切平面.
证明 为直纹面
,
所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.
也可以用高斯曲率K=0证明.
19. 给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线.
证明　设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，则
两边求微商，得　
由于曲线是曲率线，所以，进而，由伏雷内公式得
⑴时，是一平面曲线
⑵，即，，
又因为是曲率线，所以即是常向量，所以是平面曲线.
20．求证正螺面上的坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直．
证明 设正螺面的参数表示是，则
，，
，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．
21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.
证明 由欧拉公式

所以＝常数.
22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.
证明 因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有
从而又因为曲线是平面曲线，所以
进一步.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.
23. 证明在曲面上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网.
证明 曲面的向量表示为 x=常数,y=常数是两族坐标曲线.
,.

因为,所以坐标曲线构成共轭网，
即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网.
24．证明马鞍面上所有点都是双曲点．
证明 参数表示为，则
，，，，，
，，
， ，，
，
故马鞍面上所有点都是双曲点．
25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．
证明 设球面的参数表示为
，则
，，
，，
，
，，，
，，，
，故球面是全脐的．
26．证明平面是全脐的．
证明 设平面的参数表示为，则
，，，，，
，，，
，，
，故平面是全脐的．
27．证明曲面的所有点为抛物点．
证明 曲面的参数表示为，则
， ，
，， ，
， ，
，，
，
曲面的所有点为抛物点．
28．求证正螺面是极小曲面．
证明 ，，
，，，
，
，
，，，
，，，
故正螺面是极小曲面．
29. 圆柱面上的纬线是测地线．
证明 由

纬线是u-线，此时
所以，纬线是测地线．
30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．
证明 ， ，
当时，， 极小曲面的点都是平点；
当时，极小曲面的点都是双曲点．
31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；
(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.
证明 (1) 因为曲线是测地线，所以 曲线又是渐近线，所以，
而 所以k=0，故所给曲线是直线.
(2) 证法1
因曲线是测地线，所以沿此曲线有所以
又曲线是曲率线，所以
所以所以故所给曲线是平面曲线.
证法2
因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有
而，所以从而，
又，所以，故所给曲线是平面曲线.
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