2019年高考理科数学天津卷(附参考答案及详解).doc

绝密★启用前 6月7日15:00-17:00
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工农医类）
总分：150分 考试时间：120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1、 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、 选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷（共40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.

2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.

3.设，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）

A. B. C. D.

5.已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.

6.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.

7.已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则（ ）
A. B. C. D.

8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷
二、 填空题：本题共6小题，每小题5分。共30分。
9.是虚数单位，则的值为 ．

10.的展开式中的常数项为 ．

11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．

12.设，直线和圆（为参数））相切，则的值为 ．

13.设，，，则的最小值为 ．

14.在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则 ．

三、解答题：本题共80分。
15.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．

16.设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多”，求事件发生的概率．

17.如图，，，，，，．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．

18.设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为，离心率为
（）求椭圆的方程；
（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．

19.设是等差数列，是等比数列．已知，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足，其中．
①求数列的通项公式；
②求．

20.设函数，为的导函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明；
（3）设为函数在区间内的零点，其中，证明．

参考答案及详解
第一部分
1.D 【解析】因为，
所以．
2.C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示．

因为可化为，
所以作直线，并进行平移，
显然当过点时，取得最大值，
．
3.B 【解析】由“”可得“”，
由“”可得“”，
由“”不能推出“”，
但由“”可以推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件．
4.B 【解析】，，不是偶数；
第一次循环：，；
第二次循环，是偶数，，，；
第三次循环：不是偶数，，，
满足，输出，结果为．
5.D
【解析】由已知易得，抛物线的焦点为，准线，
所以．
又双曲线的两条渐近线的方程为，
不妨设点，，
所以，
所以，即，
所以．
又双曲线方程中，
所以，
所以．
6.A 【解析】因为是增函数，
所以．
因为是减函数，
所以．
因为是减函数，
所以．
，即．
所以．
7.C 【解析】因为是奇函数（显然定义域为），
所以，
所以．
又，
所以．
由题意得，
且最小正周期为，
所以，即．
所以，
所以，
所以．
所以，
所以．
8.C 【解析】当时，由恒成立，
而二次函数图象的对称轴为直线，
所以当时，恒成立，
当时，，
所以，
综上，．
当时，由恒成立，
即恒成立，
设，则，
令，得，
且当时，，
当时，，
所以，
所以．
综上，的取值范围是，即．

第二部分
9.
【解析】因为，
所以．
10.
【解析】的通项为．
令，得，
所以常数项为．
11.
【解析】由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，
圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．
因为四棱锥的底面正方形的边长为，
所以底面正方形对角线长为，
所以圆柱的底面半径为．
又因为四棱锥的侧棱长均为，
所以四棱锥的高为，
所以圆柱的高为，
所以圆柱的体积．
12.
【解析】把圆的参数方程化为圆的标准方程为，
即圆心为，半径．
又直线方程为，且直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
所以．
13.
【解析】因为，，
所以．
因为，
所以
．
当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
14.
【解析】如图，因为在线段的延长线上，

所以，
因为，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
又因为，
所以

第三部分
15.（1）在中，
由正弦定理，
得．
由，
得，即．
因为，
所以，．
由余弦定理可得．
（2）由（）可得，
从而，

，
故

16.（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，
且每天之前到校的概率均为，
故，
从而，．
所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望．
（2）设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，
则，
且，
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（）知

17.（1）依题意，是平面的法向量，
又，可得，
又因为直线，
所以．
（2）依题意，，，．

设为平面的法向量，
则
即不妨令，
可得．
因此有．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设为平面的法向量，
则即
不妨令，可得．
由题意，有，
解得，经检验，符合题意．
所以，线段的长为．
18.（）设椭圆的半焦距为，依题意，，，
又，
可得，，．
所以，椭圆方程为.
（）由题意，
设，．
设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立
整理得，可得，
代入得，进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，
所以直线的斜率为．由，得，
化简得，从而．
所以，直线的斜率为或.
19.（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意得
解得
故，，
所以的通项公式的，的通项公式为．
（2）①．
所以，数列的通项公式为.．
②
．
20.（1）由已知，有．
因此，当时，
有，得，则单调递减；
当时，
有，
得，则单调递增．
所以，的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
（2）证明：记，
依题意及（），有，
从而．
当时，，
故

因此，在区间上单调递减，
进而．
所以，当时，．
（3）依题意，，即．
记，则，
且．
由及（），得．
由（）知，当时，，
所以在上为减函数，
因此．

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