概率统计习题及答案.doc

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。
A. A,B 互不相容 B. A,B相互独立 C.AB D. A,B相容
2、将一颗塞子抛掷两次，用X表示两次点数之和，则X＝3的概率为（　C　）
A.　1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9
3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（　B　）
A.　 B.
C. D.
4、设，则B
A. 0 B. 25.5 C. 265 D. 9
5、设样本来自N（0，1），常数c为以下何值时,统计量 服从t分布。（ C ）
A. 0 B. 1 C. D. -1
6、设~，则其概率密度为（　A　　）
A. B.
C. D.
7、为总体的样本， 下列哪一项是的无偏估计（　A　　）　　
A. B.
C. D.
8 、设离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
C
1/4
1/8
则常数C为（ C ）
（A）0 （B）3/8 （C）5/8 （D）－3/8
9 、设随机变量X～N(4,25), X1、X2、X3…Xn是来自总体X的一个样本，则样本均值近似的服从（ B ）
（A） N（4，25） （B）N（4，25/n） （C） N（0,1） （D）N（0，25/n）
10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设，则在显著水平a=0.01下，（　B　）
A. 必接受　　　　　　　　 B. 可能接受，也可能拒绝
C.　必拒绝　　　　　　　　 D. 不接受，也不拒绝

二、填空题（每空1.5分，共15分）
1、A, B, C为任意三个事件，则A，B，C至少有一个事件发生表示为：__AUBUC_______；
2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0.6，则密码能被破译的概率为_____0.92____；
3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx ,则A＝＿1/2＿＿，B＝＿1/3.14＿＿＿；
4、随机变量X的分布律为，k =1,2,3, 则C=__27/13_____;
5、设X～b（n,p）。若EX=4，DX=2.4，则n=____10_____，p= ____0.4_____。
6、X为连续型随机变量，
1 ， 0血型为 O、A、B、AB的概率分别是0.4； 0.3；0.2；0.1。现任选4人，则4人血型全不相同的概率为： （ A ）
0.0024； ； 0. 24； .
3. 设 则与为 （ C ）
独立同分布的随机变量； 独立不同分布的随机变量；
不独立同分布的随机变量； 不独立也不同分布的随机变量.
4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为 （A ）
； ； ； (D) ．
5. 设是取自的样本，以下的四个估计量中最有效的是（D ）
； ；
； ．
二. 填空题（18分，每题3分）
1. 已知事件，有概率，，条件概率，则
．
2. 设随机变量的分布律为，则常数应满足的条件
为 .
3. 已知二维随机变量的联合分布函数为，试用表示概率
； 　.
4. 设随机变量，表示作独立重复次试验中事件发生的次数，则 m/2 ， m/4 　.
5．设是从正态总体中抽取的样本

，则 概率
　　　 　.
6．设为正态总体（未知）的一个样本，则的置信
度为的单侧置信区间的下限为　　.　　　 　.
2、设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

求：边缘密度函数.

3、已知随机变量与相互独立，且,，
试求：.

4、 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。

概率论与数理统计B
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设事件A和B的概率为 则可能为（）
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6
2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ ）
(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）
(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对
二．填空题（每小题3分，共15分）
1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则= .
2．设随机变量，则n=______.
3．随机变量ξ的期望为，标准差为，则=_______.
4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.
5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为，a为常数，则P(ξ≥0)=_______.
三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2) 恰有一个盒子有2个球.

四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.
五．本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是

η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
0.08
0.11
ξ＝2
0.07
0.01
0.11
0.10
(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求的分布及；

六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？

七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.
八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？
(注：,)

九．(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明与C相互独立.

十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：
1820，1834，1831，1816，1824
假定重复测量所得温度.估计，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：,)

一．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？
二．设随机变量X的密度函数为 ,
求 (1）系数A,
(2)
(3) 分布函数。

三．已知随机变量X的密度函数为

求（1）常数；（2）X的分布函数；（3）

四、（本题满分10分）设，，，，，求
（1）的数学期望；
（2）的方差。

五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为：

求：
（1）关于X和Y的边缘密度函数和；
（2）和；
（3）条件概率密度函数；
（4）Z=X+Y的概率密度函数。

六、（本题满分16分）设总体X的概率密度函数为

其中为未知参数，为来自该总体的一个简单随机样本。
（1）求的矩估计量；
（2）求的极大似然估计量；

七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）：
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2
设每袋重量服从正态分布。
（1）试问该包装机工作是否正常?
（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为，求水泥平均重量的置信度为95%的置信区间。
（已知：，，；，，，，，，，，）

答案

2解： [
[
3解：

[]
[]
4解：设为第i盒的价格，则总价

.
.

[ ]

概率论与数理统计B答案
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）
二．1．0.85、2. n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分
（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5/625=1/125------------------------------------------5分
(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
种方法----------------------------------------------------7分
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故
--------------------------------------------------10分
四．解：（1）---------------------3分
（2）-------------------------------6分

（3）
------------------------------------10分
五．解：（1）ξ的边缘分布为
--------------------------------2分
η的边缘分布为
---------------------------4分
因,故ξ与η不相互独立-------5分
（2）的分布列为

0
1
2
4
5
8
10
P
0.39
0.03
0.17
0.09
0.11
0.11
0.10
因此，

-------10分
另解：若ξ与η相互独立,则应有
P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);
P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);
因此，

但 ，故ξ与η不相互独立。
六．解：由全概率公式及Bayes公式
P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分
P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分
七．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。
于是P(A1)=0.3; P(A2)=0.7×0.3=0.21; P(A3)=0.72×0.3=0.147
P(A4)= 0.73×0.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分
在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
因此，

--------------------12分
八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq) ------------4分
由条件有
-------------------------------------------8分
因，故，解得n=2123,
即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分
九． 证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).
------2分
---------------------------4分

故与C相互独立. -------------------------------------------------------6分

一．(取出产品是B厂生产的可能性大。)
二． （1）A＝1/2 ， （2） ， （3）
三.(1)由,又, 所以;
(2)当时, =0; 当时, ,
当时, =1, 所以X的分布函数为.
(3)0.148
0.256, 所以
=0.5781.
四.(1)
=24;
(2)=27.
五.(1),

(2)=, =, 所以

(3)当时, ;
(4)
,所以.
六.(1)因,令即,解得.
(2)设是样本的观测值,则似然函数为,当0<<1时有: ,取对数得,故由解得,从而的极大似然估计量为
(3)因为,所以的极大似然估计为,又,所以,故的极大似然估计为.
七.(1)构造假设,,取检验统计量,由得拒绝域为: .又,,,,, ,故应接受,即认为包装机工作正常.
(2)因为已知,所以总体均值的置信度为的置信区间为,又,故
=.