平面向量-2014年高考数学高频考点与模拟(解析版).doc

高频考点一 向量的有关概念和运算
例1、已知关于x的方程：·x2＋·2x＋＝0(x∈R)，其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一点，则下列结论正确的是 (　　)
A．点C在线段AB上
B．点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点
C．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点
D．以上情况均有可能
高频考点二 平面向量的数量积
例2、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝ (　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×(－)＝3，则|a＋2b|＝.
答案：B
考点三 平面向量与三角函数的综合应用
例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
[解]　(1)法一：由已知得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则
|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．
∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.
当cosβ＝－1时，有|b＋c|max＝2，
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.
当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，
所以向量b＋c的长度的最大值为2.

高频考点四　平面向量的概念及线性运算
例4、 (1)a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1·λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
(2) 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是(　　)
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
考点五、 平面向量的共线与垂直的综合运用
例5、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的任意一点，求·的取值范围；
(3)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且2＝·，求证：直线l恒过定点．
·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝0，
即(1＋k2)x1x2＋(2＋km)(x1＋x2)＋4＋m2＝0，
∴4k2－16km＋7m2＝0，∴k＝m或k＝m，均适合．
当k＝m时，直线过A点，舍去．
当k＝m时，直线y＝kx＋k过定点.

1．向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．
(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．
2．两非零向量平行、垂直的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，[来源:学科网]
(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
3．平面向量的性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．
6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

1．（2014届四川省成都树德中学高三第六期3月阶段性考试数学试卷）
是边延长线上一点，记. 若关于的方程
在上恰有两解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.或
C. D.或
2．（2014届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试数学试卷）
已知向量,,,若为实数，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2014届陕西省长安一中等五校高三第二次联合模拟考试数学试卷）
已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
4．（2014届江西省九所重点中学高三联合考试数学试卷）
如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，是圆O的内接正三角形，当绕着圆心O旋转时，的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
5．（2014届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学试卷）
如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）

A． B．1 C． D．
6．（2014届福建省龙岩市高三上学期期末考试数学试卷）
在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(l,1)，且＝1，则等于( )
A. －1　　　　　B. 1　　　　　C.　　　　　　　D.
7．（2014届浙江嘉兴市高三3月教学测试（一）（即一模）数学试卷）[来源:学科网ZXXK]
在直角中,,P为AB边上的点,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．（2014届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学试卷）
已知向量，，若，则（ ）
A．-1或2 B．-2或1 C．1或2 D．-1或-2
9．（2014届人教版高考数学二轮专题复习提分训练23练习卷）
已知在△ABC中,AB=AC=4,BC=4点P为边BC所在直线上的一个动点,则关于·(+)的值,下列选项正确的是(　　)
(A)最大值为16 (B)为定值8
(C)最小值为4 (D)与P的位置有关
10．（2014届广东省韶关市高三调研测试数学试卷）
已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）
A． B． C． D．
11．（2014届上海崇明县高三第一学期期末考试数学试卷）
已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值等于.( )
A．　　　　B．　 　　　C ． D．
12．（2014届山东省青岛市高三3月统一质量检测考试（第二套）数学试卷）
若()是所在的平面内的点，且.
给出下列说法：①；②的最小值一定是；
③点、在一条直线上．其中正确的个数是( )[来源:学科网]
A．0个. B．1个. C．2个. D．3个.
13．（2014届山东省郯城一中高三12月月考数学试卷）
设向量，满足， ，且与的方向相反，则的坐标为
14．（2014届山东省菏泽市高三3月模拟考试数学试卷）
如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O 相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是 .

15．（2014届江苏省苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试卷）
如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ．

16．（2014届北京市东城区高三3月质量调研数学试卷）
已知平面向量，若，则_____________.
17．（2014届浙江省六市六校联盟高考模拟数学试卷）
已知，则 ．
18．（2014届陕西西工大附中高三上学期第四次适应性训练文数学卷）
平面向量与的夹角为，， 则_______.
19．（2014届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学试卷）
甲、乙两位同学参加2014年的自主招生考试，下火车后两人共同提起一个行李包（如图所示）。设他们所用的力分别为,行李包所受重力为，若,则与的夹角的大小为 ．

20．（2014年吉林省延边州高考复习质量检测数学试卷）
已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为 。
21．（2013-2014学年江苏南京市高二第一学期期末调研数学试卷）
如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，ÐBAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则 ．

22．（2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学试卷）
在△ABC中，边角，过作，且，则 ．
23．（2014届山东省淄博市高三3月模拟考试数学试卷）
已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于 ．
24．（2014届四川省成都七中高三二诊模拟数学试卷）
已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．
（1）求实数的值；
（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求取最大值时的单调增区间．
25．（2014届山东省威海市高三3月模拟考试数学试卷）
已知向量，.
（1）若，，且，求；
（2）若，求的取值范围.

4．C
【解析】
以O为原点建系，

则，，设，则，

图（1），图（2）
6．B[来源:学科网]
【解析】
依题意，，，，，则，，.
7．B
【解析】

11．D
【解析】
[来源:学,科,网]
14．
【解析】解:建立平面直角坐标系如下图,设点P的坐标为

则 , ,所以
因为点在圆上,所以, ,即:
所以答案应填:
17．3
【解析】
由已知得，，故，．
18．

22．
【解析】
∵，∵，∴，
即，∴，
即，∴，①，∵三点共线，∴，②，来源:中*学*学*科*网
∴①②联立得：，即，故填.
（2）由（1）知：，
把函数的图象向右平移个单位，可得函数．
又在上为增函数的周期即，
所以的最大值为，
此时单调增区间为．

∴的取值范围为. 12分