2019年福建省中考数学试卷(含答案解析).doc

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福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
数 学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算的结果是 （　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
2.北京故宫的占地面积约为，将720 000用科学记数法表示为 （　　）
A. B. C. D.
3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形
4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是 （　　）
主视方向

A
B
C
D
5.已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为 （　　）
A.12 B.10 C.8 D.6
6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是 （　　）
A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
7.下列运算正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
8.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读个字，则下面所列方程正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
9.如图，是切线，为切点，点在上，且，则等于 （　　）
A. B. C. D.
(第9题)

10.若二次函数的图象经过、、、、，则的大小关系是 （　　）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上)
(第12题)
11.因式分解：　　　　.
12.如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是和2，
点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是　　　　.
13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2 000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　　　　人.
14.中在平面直角坐标系中，的三个顶点,则其第四个顶点是是　　　　.
15.如图,边长为2的正方形中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与的交点,则图中阴影部分的面积是　　　　.（结果保留）
(第16题)
(第15题)

D
C
E
F
A
B
O

16.如图,菱形顶点A在函数（）的图象上，函数（）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D 两点，若，，则的值为　　　　.
三、解答题(本大题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分8分）
解方程组：

18.（本小题满分8分）
如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且.
求证：.

19.（本小题满分8分）
先化简，再求值：，其中

20.（本小题满分8分）
如图，已知为和点.
（1）以点为顶点求作，使，；
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）设D、E、F分别是三边AB、BC、AC的中点，分别是你所作的三边的中点，求证：.

21.（本小题满分8分）
在中，，，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，点B、C的对应点分别是E、D.
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求的度数；
（2）如图2，若时，点F是边AC中点，求证：四边形是平行四边形.

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22.（本小题满分10分）
某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
（1）求该车间的日废水处理量；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.

23.（本小题满分10分）
某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2 000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5 000元，但无需支付工时费某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频率（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
24.（本小题满分12分）
如图，四边形内接于，，，垂足为E，点F在BD的延长线上，且，连接AF、CF.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.

25.已知抛物与轴只有一个公共点.
（1）若公共点坐标为，求A、C满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线：与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线，垂足为点.当时，直线l与抛物线的一个交点在轴上，且为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数，都有A、D、C三点共线.

福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学答案解析
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】1 200
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
①＋②，得，
即，
解得，
把代入②，得，
解得．
所以原方程组的解为
【考点】二元一次方程组的解法
【考查能力】运算能力
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
，
在和中，

∴，
∴．

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质
【考查能力】推理能力
19.【答案】解：原式

当时，原式.
【考点】分式的混合运算，因式分解，二次根式的运算
【考查能力】运算能力
20.【答案】解：（1）

即为所求作的三角形．
（2）证明∵D，E，F分别是三边AB，BC，CA的中点，
∴，
同理，．
∵，

，即
∴

【考点】尺规作图，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理
【考查能力】推理能力
21.【答案】解：（1）在中，，，
∴．
由旋转性质得，，．
∴，
又，
∴．
（2）在中，，，
∴，
∵F是AC的中点，
∴，
∴．由旋转性质得，
，
，
∴，
延长BF交EC于点G，则，
∴，
∴，
∴四边形 BEDF 是平行四边形．
【考点】图形的旋转，直角三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形的内角和，平行四边形的判定
【考查能力】运算能力，推理能力
22.【答案】解：（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，
又，所以
依题意得，，
解得
故该车间的日废水处理量为20吨．
（2）设该厂一天产生的工业废水量为吨．
①当时，依题意得，，解得，所以．
②当时，依题意得，，解得，所以．
综上所述，，
故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．
【考点】一元一次方程，一元一次不等式，反比例函数的性质，平均数的概念
【考查能力】运算能力，推理能力
23.【答案】解：（1）因为100台机器在三年使用期内维修的次数不大于100的台数为
10＋20＋30＝60，
所以“100台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的频率为
，
故可估计“1台机器在三年使用期内维修的次数不大于10的概率为0.6．
（2）若每台都购买10次维修服务，则有下表：
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12

该台机器的维修费用

24000

24500

25000

30000

35000
此时这100台机器维修费用的平均数

，
若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12

该台机器的维修费用

26000

26500

27000

27500

32500
此时这100台机器维修费用的平均数

，
因为，所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务．
【考点】概率，加权平均数，统计表
【考查能力】运算能力，推理能力
24.【答案】证明：（1）∵，
∴，
在中，．
∵，
∴
∴．
在中，，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴，
∴
∵，且由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故垂直平分，
∴，
设，则，在和中，，
又∵，
∴，解得，
∴
∴，
∵，，
∴．
∴
∴
过点D作，垂足为H.
∵，
∴故
在中，
∴
【考点】圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形面积等基础知识
【考查能力】运算能力，推理能力
25.【答案】解：（1）依题意，，，
所以，
因为，所以，即满足的关系式为．
（2）①当时，直线为，它与轴的交点为．
∵直线与轴平行，
∴等腰直角的直角顶点只能是，且是抛物线的顶点．过作，垂足为，则，
∴，故点坐标为，
∴抛物线的解析式可改写为
【考点】一次函数和二次函数的图形与性质，等腰直角三角形的性质与判定，图形的对称
【考查能力】运算能力，推理能力
∴抛物线的解析式可改写为，
∵抛物线过点，所以，解得.
所以抛物线的解析式为，即.
②设，则.
由得，
因为
由抛物线的对称性，不妨设，则，，
所以，
设直线的解析式为，则有，解得
所以直线的解析式为.
因为

即，所以点在直线上.
故对于每个给定的实数，都有三点共线.

数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）