高二上学期期中考试数学试卷及答案.doc

2018—2018学年度上学期期中考试
高 二 数 学 试 卷
时间：120分钟 满分：150分 制卷人：
1．下列几何体中是柱体的有( >．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解读 根据棱柱定义知，这4个几何体都是棱柱．
答案 D
2．如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是( >．

解读 A中俯视图为圆不正确；C中正侧视图不是三角形，也不正确；而D中俯视图为三角形，显然不是四棱锥．
答案 B
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( >．

A．①② B．①③ C．①④ D．②④解读 ①的三个三视图都是正方形；②的正视图与侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心；③的三个视图都不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图为正方形．yNLPkrngb2
答案 D
4．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( >．yNLPkrngb2
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
解读 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.
答案 C
5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( >．
A．2对 B．3对 C．6对 D．12对
解读 如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线．yNLPkrngb2

答案 C
6．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是( >．
A．α内的所有直线与m异面
B．α内不存在与m平行的直线
C．α内存在唯一的直线与m平行
D．α内的直线与m都相交
解读 由题意可知m与α相交，故选B.
答案 B
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( >．yNLPkrngb2

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
解读 由长方体性质知：
EF∥平面ABCD
∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，又∵EF∥AB，
∴GH∥AB，∴选A.
答案 A
8．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( >．
A．ME⊥平面AC B．ME ⊂平面AC
C．ME∥平面AC D．以上都有可能
解读 由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.yNLPkrngb2
答案 A
9．若直线l经过点(a－2，－1>和(－a－2,1>，且与经过点(－2,1>，斜率为－3(2)的直线垂直，则实数a的值是( >．yNLPkrngb2
A．－3(2) B．－2(3) C.3(2) D.2(3)
解读 由于直线l与经过点(－2,1>且斜率为－3(2)的直线垂直，可知a－2≠－a－2.
∵kl＝－a－2－(a－2)(1－(－1))＝－a(1)，
∴－a(1)·3(2)＝－1，∴a＝－3(2).
答案 A
10．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和第二、四象限，则( >．
A．C＝0，且B＞0 B．C＝0，B＞0，A＞0
C．C＝0，AB＜0 D．C＝0，AB＞0
解读 直线过原点，则C＝0，又过第二、四象限，所以斜率为负值，即k＝－B(A)＜0，∴AB＞0，故选D.
答案 D
11．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，DF(DE)＝5(2)，则AC＝________.yNLPkrngb2
解读 ∵α∥β∥γ，∴BC(AB)＝EF(DE).
由DF(DE)＝5(2)，得EF(DE)＝3(2)，
∴BC(AB)＝3(2).
∴而AB＝6，∴BC＝9，
∴AC＝AB＋BC＝15.
答案 15
12．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．yNLPkrngb2

解读 由于扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝3(1)×π×12×2＝＝3(2π).
答案 3(2π)
13．若A(－4,2>，B(6，－4>，C(12,6>，D(2,12>，则下面四个结论：①AB∥CD，②AB⊥CD，③AC∥BD，④AC⊥BD.其中正确的序号是________．yNLPkrngb2
解读 ∵kAB＝－5(3)，kCD＝－5(3)，
kAC＝4(1)，kBD＝－4，
∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
答案 ①④
14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1>，则过两点P1(a1，b1>，P2(a2，b2>的直线方程是________．yNLPkrngb2
解读 ∵点A(2,1>在直线a1x＋b1y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0.
由此可知点P1(a1，b1>的坐标满足2x＋y＋1＝0.
∵点A(2,1> 在直线a2x＋b2y＋1＝0上，
∴2a2＋b2＋1＝0.
由此可知点P2(a2，b2>的坐标也满足2x＋y＋1＝0.
∴过两点P1(a1，b1>，P2(a2，b2>的直线方程是2x＋y＋1＝0.

答案 2x＋y＋1＝0
15．已知直线l经过点A(－4，－2>，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________．yNLPkrngb2
解读 设直线l与两坐标轴的交点为(a,0>，(0，b>，
由题意知：2(a＋0)＝－4，∴a＝－8；
2(b＋0)＝－2，∴b＝－4.
∴直线l的方程为：－8(x)＋－4(y)＝1，
即x＋2y＋8＝0.
答案 x＋2y＋8＝0
16．已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．
解 已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.
求证：b⊂α.

证明 如图，∵a∥α，A∈α，
∴A∉a，
∴由A和a可确定一个平面β，
则A∈β，
∴α与β相交于过点A的直线，
设α∩β＝c，由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，
∴a与c无公共点．
∵a⊂β，c⊂β，
∴a∥c.又已知a∥b，有A∈b，A∈c
∴b与c重合．
∴b⊂α.
17．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平
面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．
解 l∥A1C1
证明 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.yNLPkrngb2
又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，
∴A1C1∥l.
18．如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．

(1>求证：PA⊥平面ABC；
(2>当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明 (1>在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
又∵PA⊂平面PAC，
∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，
同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2>连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，
且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
19．已知直线l1经过点A(3，a>，B(a－2，－3>，直线l2经过点C(2，3>，D(－1，a－2>，如果l1⊥l2，求a的值．yNLPkrngb2
解 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
∵直线l2经过点C(2,3>，D(－1，a－2>，且2≠－1，
∴l2的斜率存在．
当k2＝0时，k1不存在，a－2＝3，则a＝5；
当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，
由k1·k2＝－1，得a－2－3(－3－a)·－1－2(a－2－3)＝－1，解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
20．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1>，B(5,1>，A＝45°，B＝45°，求：
(1>AB边所在直线的方程；
(2>AC边和BC边所在直线的方程．
解 (1>由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.
(2>由题意知，直线AC的倾斜角等于A，所以kAC＝tan 45°＝1，又点A(1,1>，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1>，yNLPkrngb2
即y＝x.
同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1，又点B(5,1>，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5>，即y＝－x＋6.yNLPkrngb2
21．已知△ABC的顶点是A(－1，－1>，B(3,1>，C(1,6>．直线l平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，且△CEF的面积是△ABC的面积的4(1).yNLPkrngb2
(1>求点E，F的坐标；(2>求直线l的方程．
解 (1>设点E(x1，y1>，F(x2，y2>，
由于直线EF∥AB，且△CEF的面积是△ABC的面积的4(1)，
所以E，F分别为边AC，BC的中点，
由中点坐标公式可得点E的坐标为x1＝2(－1＋1)＝0，y1＝2(－1＋6)＝2(5)，
点F的坐标为x2＝2(3＋1)＝2，y2＝2(1＋6)＝2(7)，
所以E2(5)，F2(7).
(2>由于点E2(5)，F2(7)，
由两点式方程，可得直线l的方程为2(5)＝2－0(x－0)，即x－2y＋5＝0.
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