第二章基本初等函数(题型完美版).doc

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第二章 基本初等函数
本章承袭第一章，包含三类基本函数，在学习过程中，会用到第一章所学的函数的性质。本章所包含的三类函数，定义域又有了新的限制条件，图像也各有不同，在解题过程中，同学们一定要习惯去画图。
第一部分 指数函数

1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)．
③n＝a.
④当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝ |a|＝.
⑤负数没有偶次方根．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂：an＝a·a·… (n∈N*)；
②零指数幂：a0＝1(a≠0)；
③负整数指数幂：a-p＝(a≠0，p∈N*)；
④正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；
⑤负分数指数幂：a－＝＝a＞0，m、n∈N*且n＞1)．

【注】若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象

定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)

x＜0时，0＜y＜1
x＜0时，y＞1.
在(－∞，＋∞)上是减函数
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＞0时，y＞1；
在(－∞，＋∞)上是增函数
【注1】当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时，要对指数函数和对数函数的底或进行讨论。
【注2】第一象限中,指数函数底数与图象的关系

【分析考向】
考向一：指数式与根式运算问题
指数幂的化简与求值的原则及结果要求
1．化简原则
(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序．
2．结果要求
(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.

专题一 指数与指数幂的运算
[例1]（1） （2） （3）

[例2]已知，将化为分数指数幂的形式为________.
[例3]化简下列各式
（1），其中，.

（2） （3）

[例4]计算.

巩固练习：
1.有下列四个命题：其中正确的个数是（ ）
①正数的偶次方根是一个正数； ②②正数的奇次方根是一个正数；
⑤负数的偶次方根是一个负数； ④④负数的奇次方根是一个负数。
A.0 B.1 C.2 D.3
2.给出下列4个等式：①；②；③；④。其中不一定正确的是 （ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3.化简，结果是（ ）
A. B.
C. D.
4.（1）的平方根是 .（2）=_________.
5.若满足,则的值为 .
6. .
7.化简下列各式（其中各字母均为正数）．
（1） （2）

（2） （4）

专题二 比较大小
[例1]已知，，，则a,b,c三个数的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
[例2]比较与的大小．

[例3]比较与（，且）的大小．

巩固练习：
1.已知a>b,ab下列不等式（1）a2>b2,(2)2a>2b,(3),(4)a>b,(5)()a<()b中恒成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若 ，则的取值范围为_________．
3.设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.比较与的大小.

5.、、这三个数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
专题三 指数式的化简求值
[例1]已知求的值。

[例2]已知，且。 求的值。

[例3]已知，求下列各式的值。
（1） （2） （3）

巩固练习：
1.已知，求的值。

2.已知，求的值．

3.已知，且，求证：.

专题四 指数函数
类型一 指数函数的定义
1.下列函数中指数函数的个数是（ ）
①；②；③；④
A.0个  B.1个   C.2个  D.3个
2.是指数函数，则的值为 .

类型二 指数函数过定点问题
1.指数函数恒过点______.
2.指数函数的图象过点,则______.
3.函数恒过定点 .

类型三 指数函数的单调性
[例1]讨论函数的单调性，并求其值域。

[例2]讨论函数的单调性，并求其值域。

[例3]讨论函数的单调性。

[例4]若函数且在上的最大值为14,求a的值.

巩固练习：
1.求下列函数的单调性：
（1） （2）

（3） （4）

2.已知，求函数的最大值和最小值。

3.已知，求的最小值与最大值。

类型四 利用单调性解不等式
[例1]不等式6<1的解集是 .
[例2]设，解关于的不等式.

巩固练习：
1. 已知 ，求函数的值域．

2.设有两个函数与，要使 ，求、的取值范围．

类型五 利用指数函数解方程
1.解方程.

2.若，则的值是_____.
3.满足的的值的集合是__________．

类型六 指数型函数的奇偶性
[例1]已知且，，则是（ ）
A．奇函数  B．偶函数
C．非奇非偶函数  D．奇偶性与有关
[例2]已知函数是奇函数，则当时，，求当时的解析式。

巩固练习：
1.若函数是奇函数，求的值．

2.已知是定义在上的奇函数,且时，，求函数的解析式并画出其图像。

3.设是实数，
（1）试证明：对于任意，在上位增函数
（2）试确定的值，使为奇函数。

类型七 指数函数综合题型
1.设，
求：（1）的值；
（2）的值．

2.已知函数，
（1）判断奇偶性，
（2）求函数的值域，
（3）证明是区间上的增函数.

3.已知函数
（1）求的定义域；（2）讨论的奇偶性；

4.已知，
求：（1）判断函数奇偶性；（2）判断f（x）的单调性。

5.某合资企业1994年的产值达2万美元，1999年的产值达64万美元，求平均每年增长的百分率是多少?

第二部分 对数函数

一、对数的概念
一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数
二、对数的运算性质
1.；
2.；
3.；
4.换底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；).
5.两个常用的推论：
（1） ；（2）（、且均不为1）．
6.常用的结论：
（1），（2）.
（3）对数恒等式:如果把 中的b写成, 则有 .
三、常用对数
1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.
2.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
四、对数函数
1.对数函数的定义：函数叫做对数函数，定义域为．
2.对数函数的图像

通过列表、描点、连线作与的图象：

总结：根据图像可知与的图象是关于轴对称。
3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。
（1）
（2）
（3）
（4）
3.对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

a＞1
0＜a＜1
图
象

性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
时，
时，
时，
时，
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数

专题一 对数与指数的换算
1.对数式与指数式的转化：
（1） （2） （3）

专题二 对数的运算性质
1.求下列各式的值：
（1）log26－log23 （2）lg5＋lg2

（3）log53＋log5 （4）log35－log315

2.（1）求的值. （2）求证：.

巩固练习：
（1）计算.

（2）已知，求：（用a,b表示）.

3.计算（1）_____；（2）_____；（3）_____.
巩固练习：
（1）； （2）．

4.化简（1）_____；（2）_____；（3）=_____；（4）_____（）；
（5）_____.

专题三 对数函数的综合运算
[例1]计算：
（1）lg14-2lg+lg7-lg18 （2）

巩固练习：
（1）； （2）(lg5)2＋lg2·lg50.

[例2]计算：（1）； （2）．

巩固练习：
求值：
（1）； 　　 （2）lg25+lg2·lg50+(lg2)2 .

[例3]已知 ，，用 a, b 表示.

[例4]若，，求．

[例5]计算：．

[例6]若，求．

[例7]已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a，b和m的值．

[例8]计算：.

[例9]设，求证：．

巩固练习：
1.已知2x＝3y，则＝（ ）
A.　　　　　B.　　　　　C.lg　　　　　D.lg
2.若lg2＝a，lg3＝b，则log512=_____.
3.求值：(1)；(2)；(3).

4.已知，，求（用 a, b 表示）．

5.已知3a＝5b＝M，且＋＝2，求M的值.

6.计算：（1） （2）

7.若、是方程的两个实根，求：的值.

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