行列式试题库1.doc

一． 判断题
（易）1、阶行列式是由个数构成的行列的数表（ ）．
答案：×
（较容易）2、．（ ）．
答案：×
（较容易）3、．（ ）．
答案： √
（较容易）4.若方阵A的各行元素之和为零，则 ( )
答案： √
二．填空题
（中等）1.设,_________,________
答案：0，0
（中等）2., 求=________
答案：0
（较容易）3. 5阶行列式的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则________.
答案：3
（较容易）4.= ．
答案：0
（较容易）5. = ．
答案：
（较容易）6. =
答案：
（中等）7．已知三阶行列式，它的元素的代数余子式为（），则与对应的三阶行列式为 ．
答案：
（中等）8． 设行列式 则第四行各元素余子式之和的值为 .
答案：–28
（较容易）9． = ．
答案：
（中等）10． 行列式= ．
答案：
（较容易）11． 当= 或= 时，齐次方程组有非零解．
答案：1，0
（较容易）2. 设,则D=______________
答案：
（较容易）13. 已知四阶行列式的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式______
答案：-1
（较容易）14. 设是三阶方阵, 且, 则=_______
答案：
（容易）15. 为正交矩阵, 则_____________
答案：1或-1
（较容易）16. 已知四阶行列式D的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________
答案：5
（容易）17. 行列式中元素的代数余子式 = _________
答案：－４
（较容易）18.四阶行列式D的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________
答案：0
（较容易）19.设A是三阶行列式，且，则______
答案：512
（较容易）20.设五阶矩阵A的行列式，则其伴随矩阵的行列式 ____
答案：16
（容易）21. 已知三阶行列式, 则第3行第2列元素的代数余子式=_____________
答案：7
（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．.
答案：1
（容易）23. 当 时排列1274569为偶排列．
答案：8，3
（容易）24. 排列1 3 …（）2 4…（）的逆序数为 _______ ．
答案：
（容易）25. 在五阶行列式中项前面应冠以 号（填正或负）．
答案：负
（容易）26. 四阶行列式中含有因子且带负号的项为_____
答案：
（容易）27. 设A为n阶矩阵,且，则必有
答案：1 或－1
（容易）28. 设A为n阶可逆矩阵，如果,则________
答案：
（容易）29. 设A为n阶可逆矩阵，如果 ,则________
答案：
（容易）30. 设A为n阶矩阵,且，则必有________
答案：1 或－1
（容易）31.设是阶方阵, 为其伴随矩阵, 若, 则=__________
答案：
（容易）32.若, 则_________
答案：8
（容易）33.设,则__
答案：0
（较容易）34. 若，则_____
答案：或0
（较容易）35.已知，则_____
答案：2
（较容易）36.设，则_____
答案:24
（容易）37. ____
答案:-18
（容易）38. ____
答案:32
（较容易）39. ____
答案:0
（较容易）40.若齐次线性方程组有非零解,则____
答案:
（容易）41.行列式A中元素的代数余子式与余子式之间的关系____
答案:
（较容易）42.若n阶方阵A的秩为n-1,在____
答案:0
（较容易）43.设A,B是两个三阶的方阵,且,,那么____
答案:
（容易）44.设三阶方阵A的不同特征值为-1,2,4 ,则____
答案:-8
（较容易）45.若A,B为n阶方阵,且,则____
答案:
（容易）46.A为三阶方阵,,则____
答案:
（较容易）47.设行列式,则____
答案:0
（较容易）48.若,则____
答案:2
（较容易）49. ____
答案:12
（较容易）50. 如果,则= ____
答案:-18
（较容易）51. 如果,则= ____
答案:24
（容易）52.已知三阶方阵A的三个特征值为1，－2，3 ，则____
答案：－6
（容易）53.
答案：
（容易）54. ＝
答案：0
（容易）55.已知,
答案：－9
（容易）56. =
答案：
（较容易）57. =
答案：1
（较容易）行列式
答案：9
三．选择题
（容易）1. 如果仅有零解,则( ).
A. , B. 或, C. , D. 且.
答案：D
（较容易）2. 设, 分别表示行列式的三个列，则（ ）
        A.      B.
        C.      D.
 答案：D
（较容易）3．四阶行列式D=的值等于（ ）
A. B.
C. D.
 答案：D
（容易）4.如果，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 12 D. 16
答案:D
（较容易）5.已知4阶方阵A，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式( )
A. 5 B. -5 C. -3 D. 3
答案:A
（中等）6.设,则方程的三个根分别为( )
A. 1,-1,2 B. 1,1,4 C. 1,-1,8 D. 2,4,8
答案: A
（较容易）7.行列式=( )
A. 0 B. C D.
答案:C
（容易）8.行列式中元素的代数余子式为( )
A. 0 B. -10 C. 10 D. 3
答案:B
（容易）9.行列式中元素的代数余子式为( )
A. 4 B. -4 C. 0 D. 2
答案:A
（较容易）10.若 则( )
A. -5 B. 6 C. -1 D. 1
答案: B
（较容易）11.设,则方程的根分别为( )
A. 1,1,3,3 B. -1,-1,3,3 C. -1,-1,-3,-3 D. 1,-1,3,-3
 答案：D
(较容易)
12.已知,则行列式( )
A. B. C. D.
答案：A
（较容易）13.( )
A. B. C.
D.
答案:D
（较容易）14.行列式( )
A. -12 B. 12 C. -6 D. 6
答案:A
（较容易）15.设,则的充分必要条件是( )
A. 中有两行(列)元素对应成比例
B. 中有一行(列)的元素均为零
C.
D.
答案C
（中等）16.是( )次多项式
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案:C
（较容易）17.四阶行列式D的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且,则( )
A. 0 B. 3 C. 1 D. -1
答案:B
(较容易)18.若,则( )
A. 5 B. -5 C. 20 D. -20
答案:A
（容易）19.( )
A. B. 1 C. 0 D.
答案:C
（较容易）20. 设分别为n阶方阵A的伴随矩阵和逆矩阵,则（ ）
A. B. C. D.
答案:C
（较容易）21.已知A为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则( )
A. 5 B. -5 C. 7 D. -7
答案:C
（较容易）22.如果,则( )
A. 8 B. -12 C. 24 D. -24
答案：B
（较容易）23.行列式（ ）
A. 1000 B. -1000 C. 2000 D.-2000
答案：C
（较容易）24.行列式的值为（ ）
A. -12 B. -24 C. -36 D. -72
答案：D
（较容易）25.设为阶方阵，且，则（ ）
A. 中必有两行(列)的对应元素成比例;
B. 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;
C. 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;
D. 中至少有一行(列)向量为零向量
答案：C
（较容易）26. 已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，则行列式=( )
A. 0 B. 1 C. 6 D. 36
答案：D
（较容易）27. 如果，
那么（ ）．
A.； B.； C. ； D. ．
答案：D
（较容易）28.已知，则（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
答案：D
29.行列式D非零的充要条件是（ ）
A.D的所有元素都不为零
B.D至少有个元素不为零
C.D的任意两列元素之间不成比例
D.以D为系数行列式的线性方程组有惟一解
答案：D

四．解答题
（较难）1.
解：

（较难）2．
解：＝
＝
＝＝
＝
＝

（较难）3．
解：
＝
由递推关系有
（较难）4．
解：
＝
＝
＝
＝
（中等）5. 写出四阶行列式中元素的代数余子式，并求其值.
解：

（中等）6. 计算行列式
解: =

（中等）7. 计算阶行列式
解: 按第一行展开，得．
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到

（中等）8．计算行列式
解:
=
（较容易）9.计算行列式
解:

（较容易）10. 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：

解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.

即
所以当或时，齐次线性方程组可能有非零解.
（中等）11. 计算行列式
解：

（中等）12. 计算行列式．
解：

（中等）13. 计算行列式的值
解： =
==

（难）4. 计算n阶行列式的值
解 按第一行展开，得：

得到递推式：
写作，可得
写作，可得
而
解之得
（中等）15. 计算n阶行列式的值
解 按照第一列展开

（较容易）16. 问，取何值时，齐次线性方程组 有非零解？
解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故

即或齐次线性方程组有非零解。
（较容易）17．问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
解：

＝0
即或3.
（较容易）18. 已知齐次线性方程组 有非零解, 求.
解 , 故或
（中等）19. 计算行列式D=
解：
（较难）20.计算行列式
解：
（较难）21. 设 D 是一个3阶行列式, 分别是其第1,2,3列.已知 D = 2,求
    解：则有
(中等)23. 用克拉默法则解下列方程组 ．
解 ，,
,
，， ， ．
（中等）24. 计算行列式
解： ．
（较容易）25. 计算行列式
解：
=
（较难）26.计算阶行列式．
解： 将按第一列拆成两个行列式的和，即
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到

当时，．
当时，．
（较难）27. 已知方程，求
解：由行列式的加法性质，原方程可化为 得
（中等）28. 计算行列式．
解:

（较难）29. 计算阶行列式
其中．
解：这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即

(较容易)30. 计算行列式 其中，（）．
解： 从第行开始，后行减去前行：得

．
（较难）31.计算．
解：

（较难）32. 计算．
解：

（中等）33., 求．
解法1： 因为
与的第1列元素的代数余子式相同
所以将按第1列展开可得．
解法2： 因为的第3列元素与的第1列元素的代数余子式相乘求和
为0,即
所以
（较难）34.计算
解: 采用加边法.

（中等）35.计算行列式
解: .
（较难）36.计算行列式(已知)
解:

（较难）37.设n阶行列式为,求第一行各元素的代数余子式之和
解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

（中等）38. 用克莱姆法则求解线性方程组

解： 系数行列式

同样可以计算
， ，
，
所以 ，，，
（较容易）39. 试问为何值时，方程组有唯一解？
解： 系数行列式
当时有唯一解
原非齐次方程组有唯一解
（较容易）40. 试问k为何值时，方程组仅有零解？
解： 系数行列式
，当且仅当时仅有零解
时原齐次线性方程组仅有零解
（中等）41.计算行列式
解：

（中等）42.计算行列式
解：

（中等）43.计算n阶行列式
解：

（较难）44. 设阶方阵的行列式，且的每行元素之和均为，则的第一列元素的代数余子式之和_______
解 由题设，故将的各列均加到第一列后得
又，可知（否则） 从而
（容易）45.
解：

（难）46. 设阶方阵，，其中为维列向量，已知求。
解：

∴
（中等）47. 设A为3阶实矩阵，且，求.
解： 由知
又，从而有 即，所以
故。
按第3行展开后得
∴
（较难）48. 设都是4维列向量，4阶矩阵，已知，，求；
解：

(中等)设行列式，
计算（1）
（2）
解:（1）

(2)

五．证明题
（较难）1．用数学归纳法进行证明：

证明：

（较难）2. 证明．
证:
．
（较难）3. 当为奇数时，证明D==0.
证: ，于是
，当为奇数时有，故．
（较难）4. 证明 ．
证明: 用数学归纳法，当时有
，故当时等式成立．
设当时等式成立，即
．
将按第一列展开，得

．

中等）5.试证明
证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得

=右
（较难）6. 证明n阶行列式
．
证明 按第一列展开，得
．
其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作．这样，就有递推关系式：．
因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．
当时，，结论正确．
当时，，结论正确．
设对的情形结论正确，往证时结论也正确．
由
可知，对n阶行列式结果也成立．
根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．