行列式试题库1.doc

一 判断题（易）1、阶行列式是由个数构成的行列的数表（ ） 答案：（较容易）2、（ ）答案：（较容易）3、（ ）答案： （较容易）4.若方阵A的各行元素之和为零，则 ( )答案： 二填空题（中等）1.设,_,_答案：0，0（中等）2., 求=_ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为1,3,2,0,1，则_.答案：3（较容易）4.= 答案：0（较容易）5. = 答案：（较容易）6. = 答案： （中等）7已知三阶行列式，它的元素的代数余子式为（），则与对应的三阶行列式为 答案：（中等）8 设行列式 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：28（较容易）9 = 答案： （中等）10 行列式= 答案：（较容易）11 当= 或= 时，齐次方程组有非零解答案：1，0（较容易）2. 设,则D=_答案：（较容易）13. 已知四阶行列式的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式_答案：-1（较容易）14. 设是三阶方阵, 且, 则=_答案：（容易）15. 为正交矩阵, 则_答案：1或-1（较容易）16. 已知四阶行列式D的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=_答案：5（容易）17. 行列式中元素的代数余子式 = _ 答案：（较容易）18.四阶行列式D的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _答案：0（较容易）19.设A是三阶行列式，且，则_答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A的行列式，则其伴随矩阵的行列式 _答案：16（容易）21. 已知三阶行列式, 则第3行第2列元素的代数余子式=_答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 .答案：1（容易）23. 当 时排列1274569为偶排列答案：8，3（容易）24. 排列1 3 （）2 4（）的逆序数为 _ 答案： （容易）25. 在五阶行列式中项前面应冠以 号（填正或负）答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子且带负号的项为_ 答案：（容易）27. 设A为n阶矩阵,且，则必有答案：1 或1（容易）28. 设A为n阶可逆矩阵，如果,则_答案：（容易）29. 设A为n阶可逆矩阵，如果 ,则_答案：（容易）30. 设A为n阶矩阵,且，则必有_答案：1 或1（容易）31.设是阶方阵, 为其伴随矩阵, 若, 则=_答案：（容易）32.若, 则_答案：8（容易）33.设,则_答案：0（较容易）34. 若，则_答案：或0（较容易）35.已知，则_答案：2（较容易）36.设，则_答案:24（容易）37. _答案:-18（容易）38. _答案:32（较容易）39. _答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组有非零解,则_答案:（容易）41.行列式A中元素的代数余子式与余子式之间的关系_答案:（较容易）42.若n阶方阵A的秩为n-1,在_答案:0（较容易）43.设A,B是两个三阶的方阵,且,那么_答案:（容易）44.设三阶方阵A的不同特征值为-1,2,4 ,则_答案:-8（较容易）45.若A,B为n阶方阵,且,则_答案:（容易）46.A为三阶方阵,则_答案:（较容易）47.设行列式,则_答案:0（较容易）48.若,则_答案:2（较容易）49. _答案:12（较容易）50. 如果,则= _答案:-18（较容易）51. 如果,则= _答案:24（容易）52.已知三阶方阵A的三个特征值为1，2，3 ，则_答案：6（容易）53. 答案：（容易）54. 答案：0（容易）55.已知, 答案：9（容易）56. = 答案：（较容易）57. = 答案：1（较容易）行列式 答案：9三选择题（容易）1. 如果仅有零解,则( ).A. , B. 或, C. , D. 且.答案：D（较容易）2. 设, 分别表示行列式的三个列，则（ ）A. B. C.D. 答案：D（较容易）3四阶行列式D=的值等于（ ）A. B. C. D. 答案：D（容易）4.如果，则（ ）A. 2 B. 4 C. 12 D. 16答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A，其第三列元素分别为1，3，2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式( )A. 5 B. -5 C. -3 D. 3答案:A（中等）6.设,则方程的三个根分别为( )A. 1,-1,2 B. 1,1,4 C. 1,-1,8 D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式=( )A. 0 B. C. D. 答案:C （容易）8.行列式中元素的代数余子式为( )A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式中元素的代数余子式为( )A. 4 B. -4 C. 0 D. 2答案:A（较容易）10.若 则( )A. -5 B. 6 C. -1 D. 1答案: B（较容易）11.设,则方程的根分别为( )A. 1,1,3,3 B. -1,-1,3,3 C. -1,-1,-3,-3 D. 1,-1,3,-3答案：D(较容易)12.已知,则行列式( )A. B. C. D. 答案：A（较容易）13.( ) A. B. C. D. 答案:D （较容易）14.行列式( )A. -12 B. 12 C. -6 D. 6答案:A（较容易）15.设,则的充分必要条件是( )A. 中有两行(列)元素对应成比例B. 中有一行(列)的元素均为零C.D. 答案:C（中等）16.是( )次多项式A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案:C（较容易）17.四阶行列式D的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且,则( )A. 0 B. 3 C. 1 D. -1答案:B(较容易)18.若,则( )A. 5 B. -5 C. 20 D. -20答案:A（容易）19.( )A. B. 1 C. 0 D. 答案:C （较容易）20. 设分别为n阶方阵A的伴随矩阵和逆矩阵,则（ ）A. B. C. D. 答案:C （较容易）21.已知A为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则( )A. 5 B. -5 C. 7 D. -7 答案:C （较容易）22.如果,则( )A. 8 B. -12 C. 24 D. -24答案：B（较容易）23.行列式（ ）A. 1000 B. -1000 C. 2000 D.-2000答案：C（较容易）24.行列式的值为（ ）A. -12 B. -24 C. -36 D. -72答案：D（较容易）25.设为阶方阵，且，则（ ）A. 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合; D. 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，则行列式=( )A. 0 B. 1 C. 6 D. 36答案：D（较容易）27. 如果，那么（ ）A.； B.； C. ； D. 答案：D（较容易）28.已知，则（ ）A. 1 B. -1 C. D. 答案：D 29.行列式D非零的充要条件是（ ）A.D的所有元素都不为零B.D至少有个元素不为零C.D的任意两列元素之间不成比例D.以D为系数行列式的线性方程组有惟一解答案：D 四解答题（较难）1.解：（较难）2解： （较难）3解：由递推关系有（较难）4解：（中等）5. 写出四阶行列式中元素的代数余子式，并求其值.解： （中等）6. 计算行列式解: = （中等）7. 计算阶行列式解: 按第一行展开，得再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到（中等）8计算行列式解: =（较容易）9.计算行列式 解: （较容易）10. 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零. 即 所以当或时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式. 解： （中等）12. 计算行列式 解： （中等）13. 计算行列式的值解： = =（难）4. 计算n阶行列式的值解 按第一行展开，得：得到递推式：写作，可得写作，可得而 解之得（中等）15. 计算n阶行列式的值解 按照第一列展开（较容易）16. 问，取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故即或齐次线性方程组有非零解。（较容易）17问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：0即或3.（较容易）18. 已知齐次线性方程组 有非零解, 求. 解 , 故或（中等）19. 计算行列式D= 解：（较难）20.计算行列式 解：（较难）21. 设 D 是一个3阶行列式, 分别是其第1,2,3列.已知 D = 2,求 解：则有(中等)23. 用克拉默法则解下列方程组 解 ，,， ， （中等）24. 计算行列式 解： （较容易）25. 计算行列式解：=（较难）26.计算阶行列式解： 将按第一列拆成两个行列式的和，即再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到当时，当时，（较难）27. 已知方程，求 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 得（中等）28. 计算行列式解: （较难）29. 计算阶行列式其中解：这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，n即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即(较容易)30. 计算行列式 其中，（）解： 从第行开始，后行减去前行：得（较难）31.计算 解： （较难）32. 计算 解： （中等）33., 求 解法1： 因为 与的第1列元素的代数余子式相同 所以将按第1列展开可得 解法2： 因为的第3列元素与的第1列元素的代数余子式相乘求和 为0,即 所以 （较难）34.计算 解: 采用加边法. （中等）35.计算行列式 解: . （较难）36.计算行列式(已知)解:（较难）37.设n阶行列式为,求第一行各元素的代数余子式之和解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成（中等）38. 用克莱姆法则求解线性方程组解： 系数行列式同样可以计算 ， ， 所以 ， （较容易）39. 试问为何值时，方程组有唯一解？解： 系数行列式当时有唯一解原非齐次方程组有唯一解（较容易）40. 试问k为何值时，方程组仅有零解？解： 系数行列式，当且仅当时仅有零解时原齐次线性方程组仅有零解（中等）41.计算行列式解：（中等）42.计算行列式解：（中等）43.计算n阶行列式解： （较难）44. 设阶方阵的行列式，且的每行元素之和均为，则的第一列元素的代数余子式之和_解 由题设，故将的各列均加到第一列后得 又，可知（否则） 从而 （容易）45. 解：（难）46. 设阶方阵，其中为维列向量，已知求。解：（中等）47. 设A为3阶实矩阵，且，求.解： 由知又，从而有 即，所以故。按第3行展开后得 （较难）48. 设都是4维列向量，4阶矩阵，已知，求；解：(中等)设行列式，计算（1）（2）解:（1） (2) 五证明题（较难）1用数学归纳法进行证明：证明：（较难）2. 证明证: （较难）3. 当为奇数时，证明D=0.证: ，于是，当为奇数时有，故（较难）4. 证明 证明: 用数学归纳法，当时有，故当时等式成立设当时等式成立，即将按第一列展开，得（中等）5.试证明证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得 =右（较难）6. 证明n阶行列式证明 按第一列展开，得其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作这样，就有递推关系式：因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时，结论正确当时，结论正确设对的情形结论正确，往证时结论也正确由可知，对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立