山西省2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 下列说法正确的是（ ）
A ．若向量 ， 满足 | |>| | ，且 与 同向，则 >
B ．若 且 ，则 .
C ．向量 与 是共线向量，则 A ， B ， C ， D 四点共线
D ．非零向量 与非零向量 满足 ，则向量 与 方向相同或相反
2、 若 ，则
A ． B ． C ． D ．
3、 已知在 中， ，则 等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 在 中 , 已知 , 则 等于 (    )
A ． B ． C ． D ．
5、 已知 , , 和 的夹角为 135°, 则 ( )
A ． 12 B ． 3 C ． 6 D ． 3
6、 的三个内角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，设向量 ， ．若 ，则角 C 的大小为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，则
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
8、 如图所示 , 在山底 A 处测得山顶 B 的仰角 , 沿倾斜角为 30° 的山坡向山顶走 1000 m 到达 S 点 , 又测得山顶仰角 , 则山高 为

A ． B ． 200 m C ． D ． 1000 m
9、 在 中，三个内角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若 且 ， ，则 的面积等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 在 中，若 ，则 一定是（ ）
A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
11、 如果函数 的图象与 轴交与点 ，过点 的直线交 的图象于 两点，则
A ． B ． C ． D ．
12、 设两个向量 和 ，其中 λ ， m ， α 为实数，若 ，则 的取值范围是（ ）
A ． [ － 6,1] B ． [4,8]
C ． ( － ∞ ， 1] D ． [ － 1,6]
二、填空题（共4题）
1、 已知在 △ ABC 中， a ＝ x ， b ＝ 2 ， B ＝ 45° ，若三角形有两解，则 x 的取值范围是 _______
2、 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F . 若 ＝ a ， ＝ b ，则 ＝ ___.
3、 已知 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是 ____.
4、 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事基地 C 和 D ，测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且 ∠ ADB ＝ 30° ， ∠ BDC ＝ 30° ， ∠ DCA ＝ 60° ， ∠ ACB ＝ 45°. 如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为 ________ ．

三、解答题（共4题）
1、 已知平面向量 ， ， .
（ 1 ）若 ，求 在 上的投影向量 的坐标；
（ 2 ）若 ，求 的值 .
2、 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ．
（ Ⅰ ）求 的面积；
（ Ⅱ ）若 ，求 的值．
3、 已知 ， ， 与 的夹角为 .
（ 1 ）求 ；
（ 2 ）求向量 与向量 的夹角 的余弦值．
4、 在锐角 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2 b ·cos A ＝ c cos A ＋ a cos C .
（ 1 ）求角 A 的大小；
（ 2 ）若 a ＝ ，求 △ ABC 的面积 S 的取值范围．

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
直接利用向量的定义和向量的共线的充要条件的应用判断 A 、 B 、 C 、 D 的结论．
【详解】
解：对于 A ：向量 ， 满足 ，且 与 同向，则 ，由于向量是不能比较大小的，故 A 错误；
对于 B ：若 且 （ ），则 ，故 B 错误；
对于 C ：向量 与 是共线向量，则 A ， B ， C ， D 四点共线或直线 AB ∥ 直线 CD ，故 C 错误；
对于 D ：非零向量 与非零向量 满足 ，则向量 与 方向相同或相反，故 D 正确．
故选： D ．
2、 D
【分析】
根据复数运算法则求解即可 .
【详解】
．故选 D ．
【点睛】
本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
3、 A
【分析】
利用正弦定理得 再利用余弦定理可以求解 .
【详解】
，由正弦定理得 ，
由余弦定理 知 ,
.
故选： A.
【点睛】
本题考查正弦、余弦定理 .
熟练运用正弦、余弦定理及变形是解题的关键 .
正弦定理常见变形： 、 、

4、 C
【分析】
由 B ， C 的度数，三角形的内角和定理，求出 A 的度数，利用正弦定理即得解 .
【详解】
由三角形内角和：
根据正弦定理： ，又
则：
故选： C
【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题 .
5、 C
【详解】
由已知得 ,
因此 .
6、 B
【分析】
根据向量共线的坐标表示及余弦定理计算可得；
【详解】
解：因为向量 ， 且 ，所以 ，即
所以 ， ∵ ， ∴ .
故选： B.
7、 B
【分析】
画出图形，过点 作 ，垂足为 ，易知 是等腰直角三角形， 是正方形，结合向量的线性运算可知 ，展开运算即可得出答案 .
【详解】
画出图形，过点 作 ，垂足为 ，易知 是等腰直角三角形， 是正方形， ，
根据题意得
.

故选 :B.
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题 .
8、 D
【分析】
在 中利用正弦定理求出 ，再求出 BC 得解 .
【详解】
由题图可知 , ,
又 ,∴ ,
在 中 , ,
∴ ,
∴ .
故选： D
【点睛】
本题主要考查正弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 .
9、 A
【分析】
利用正弦定理求得 ，结合余弦定理可求得 、 的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果 .
【详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，
解得 或 （舍） .
由余弦定理可得 ，
解得 ，故 ，
因为 ，则角 为锐角，所以， ，
因此， .
故选： A.
10、 D
【分析】
先用余弦定理边化角得 ，再用正弦定理边化角的 ，再根据二倍角的正弦公式得 ，进而可得答案 .
【详解】
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ， 为三角形的内角，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 一定是等腰三角形或直角三角形 .
故选： D
11、 D
【详解】
因为当－ 2 ＜ x ＜ 10 时， 0 ＜ x ＋ ＜ 2π ，故令 f ( x ) ＝ 2sin ＝ 0 ，
则 x ＋ ＝ π ，解得 x ＝ 4 ，由正弦函数的对称性可知点 B ， C 关于点 A (4,0) 成中心对称，
故有 ，故选 D.
12、 A
【分析】
根据 ，可得 然后计算 的范围，最后简单化简计算即可 .
【详解】
由 ，得 所以
又 cos 2 α ＋ 2sin α ＝－ sin 2 α ＋ 2sin α ＋ 1 ＝－ (sin α － 1) 2 ＋ 2 ，
所以－ 2≤cos 2 α ＋ 2sin α ≤2. 所以－ 2≤ λ 2 － m ≤2.
将 λ 2 ＝ (2 m － 2) 2 代入上式，得－ 2≤(2 m － 2) 2 － m ≤2 ，解得 ≤ m ≤2 ，
所以 ＝ 2 － ∈[ － 6,1] ．
故选： A
二、填空题
1、
【分析】
直接利用三角形的解的情况的应用求出结果．
【详解】
解： 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ； ， ， ，若三角形有两解，则： ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角形的解的情况的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
2、
【分析】
根据两个三角形相似对应边成比例，得到 DF 与 DC 的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量．
【详解】
解：如图所示
▱ ABCD 中， △ DEF ∽△ BEA ，
∴ ，
再由 AB ＝ CD 可得 ，
∴ ；
又 ， ，
∴ ，
∴ ；
又 ，
∴ （ ） + （ ） ．
故答案为 .

3、 λ > － 5 且 λ ≠ －
【分析】
依据两个向量的夹角为锐角，所以可得 且 ，然后计算即可 .
【详解】
因为 与 的夹角为锐角，则 ，且 ，
即 ＝ 2 ＋ λ ＋ 3>0 ，且 ，则 λ > － 5 且 λ ≠ － .
故答案为： λ > － 5 且 λ ≠ － .
4、 a
【分析】
先在 △ BCD 中，由正弦定理求得 BD 的长，再由 △ ADB 中利用余弦定理即可求得 AB 的长，从而可得结论．
【详解】
由题意知 ∠ ADC ＝ ∠ ADB ＋ ∠ BDC ＝ 60° ，又因为 ∠ ACD ＝ 60° ，所以 ∠ DAC ＝ 60°.
所以 AD ＝ CD ＝ AC ＝ a . 在 △ BCD 中， ∠ DBC ＝ 180° － 30° － 105° ＝ 45° ，
由正弦定理得 ＝ ，所以 BD ＝ CD · ＝ a · ＝ a ，
在 △ ADB 中，由余弦定理得 AB 2 ＝ AD 2 ＋ BD 2 － 2 AD · BD ·cos∠ ADB ＝ a 2 ＋ 2 － 2· a · a · ＝ a 2 ，所以 AB ＝ a .
故答案为： a .
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 .
【分析】
（ 1 ）设 ，可得出 ，求出实数 的值，即可求得向量 的坐标；
（ 2 ）由已知可得出 ，可得出关于实数 的二次方程，进而可求得实数 的值 .
【详解】
（ 1 ）若 ，则 ， , 设 ，则 ，
即 ，可得 ，因此， ；
（ 2 ）若 ，则 ，即 ，解得 或 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用二倍角公式由已知可得 ；根据向量的数量积运算，由 得 ，再由三角形面积公式去求 的面积；（ 2 ）由（ 1 ）知 ，又 ，解方程组可得 或 ，再由余弦定理去求 的值．
【详解】
（ 1 ）因为 ，所以
又 ，所以 ，
由 ，得 ，所以
故 的面积
（ 2 ）由 ，且 ，得 或
由余弦定理得 ，故
考点：（ 1 ）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（ 2 ）余弦定理．
3、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用平面向量数量积可计算得出 的值；
（ 2 ）求出 、 的值，利用平面向量数量积可求得 的值 .
【详解】
（ 1 ）由平面向量数量积的定义可得 ，
所以， ；
（ 2 ） ,
，
因此， .
4、 （ 1 ） A ＝ 60° ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用正弦定理边化角，再利用两角和公式即可得解；
（ 2 ）利用正弦定理把面积公式转化为三角函数，利用三角函数求范围即可 .
【详解】
（ 1 ）由正弦定理， 2 b cos A ＝ c cos A ＋ a cos C ⇒2cos A sin B
＝ cos A sin C ＋ sin A cos C ＝ sin( A ＋ C ) ＝ sin B ，
∵sin B ≠0 ， ∴cos A ＝ ，
∵0° ＜ A ＜ 180° ， ∴ A ＝ 60°.
（ 2 ）由正弦定理， ，
，
又因为锐角 △ABC 是锐角三角形，
所以 ，所以 .