福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练24锐角三角函数.docx

课时训练(二十四)　锐角三角函数
(限时:40分钟)

|夯实基础|
1.计算:cos245°+sin245°= (　　)
A.12 B.1 C.14 D.22
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,BC=6,则AB= (　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
3.[2017·天水]在正方形网格中△ABC的位置如图K24-1所示,则cosB的值为 (　　)

图K24-1
A.12 B.22 C.32 D.33
4.[2018·娄底]如图K24-2,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα-cosα= (　　)

图K24-2
A.513 B.-513 C.713 D.-713
5.[2019·柳州]如图K24-3,在△ABC中,sinB=13,tanC=22,AB=3,则AC的长为　　　　. 

图K24-3
6.[2018·三明质检]如图K24-4,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡从A滑行至B.已知AB=500米,则这名滑雪运动员下降的垂直高度为　　　　米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67) 

图K24-4
7.[2018·泰安]如图K24-5,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为　　　　. 

图K24-5
8.[2018·湖州]如图K24-6,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=13,AC=6,则BD的长是　　　　. 

图K24-6
9.如图K24-7,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA=32,求sinB+cosB的值.

图K24-7

10.如图K24-8,直线y=12x+32与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求sin∠BAO的值.

图K24-8

|能力提升|
11.[2018·泉州质检]如图K24-9,在3×3的正方形网格中,A,B均为格点,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧,图中的点C是该弧与网格线的交点,则sin∠BAC的值是 (　　)

图K24-9
A.12 B.23 C.53 D.255
12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图K24-10所示,已知B(23,2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PD⊥PC交x轴于点D.下列结论:①OA=BC=23;②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7;③在运动过程中,∠CDP是一个定值;④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为233,0或(23-4,0),其中正确结论的个数是 (　　)

图K24-10
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.[2019·乐山]如图K24-11,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=35.则AB边的长为　　　　. 

图K24-11
14.[2019·梧州]如图K24-12,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tanB=34.
(1)求AD的长;
(2)求sinα的值.

图K24-12

|思维拓展|
15.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(记作sad).如图K24-13①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值是一一对应的.根据上述角的正对定义,解下列问题:
(1)sad60°=　　　　; 
(2)如图②,△ABC中,CB=CA,若sadC=65,求tanB的值;
(3)如图③,Rt△ABC中,∠BCA=90°,若sinA=35,试求sadA的值.

图K24-13

【参考答案】
1.B　2.D
3.B　[解析]过A作AD⊥BC,交BC的延长线于D,通过网格容易看出△ABD为等腰直角三角形,故cosB=cos45°=22,故选B.
4.D　[解析]根据大正方形面积为169得到直角三角形斜边为13,根据小正方形面积为49得到两直角边的差为7,易得两直角边为12和5,得到sinα-cosα=513-1213=-713,故选D.
5.3　[解析]过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,sinB=13,AB=3,∴AD=AB·sinB=1.在Rt△ACD中,tanC=22,
∴ADCD=22,即CD=2,根据勾股定理得:AC=AD2+CD2=1+2=3,故答案为:3.
6.280
7.1010　[解析]∵矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,∴Rt△AEB≌Rt△A'EB.
∴AE=A'E,AB=A'B=6,∠A=∠BA'E=90°.
在Rt△CBA'中,由勾股定理求得:A'C=BC2-A'B2=102-62=8,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=10,CD=AB=6,
设AE=x,则EC=8+x,ED=10-x,
在Rt△CDE中,CE2=DE2+CD2,即(8+x)2=(10-x)2+62,解得x=2,
在Rt△AEB中,BE=AB2+AE2=62+22=210,
∴sin∠ABE=AEBE=2210=1010,故答案为1010.
8.2　[解析]∵菱形的对角线互相垂直平分,
∴AC⊥BD.
∵tan∠BAC=13,∴BOAO=13.
∵AC=6,∴AO=3.
∴BO=1.
∴BD=2BO=2.故填2.
9.解:∵CD⊥AB,CD=6,AB=12,
∴tanA=6AD=32,∴AD=4,
∴BD=AB-AD=8.
在Rt△BCD中,BC=82+62=10,
∴sinB=CDBC=35,cosB=BDBC=45,
∴sinB+cosB=75.
10.解:(1)由题意,得y=12x+32,y=2x,解得x=1,y=2,
∴B(1,2).
(2)过B作BC⊥x轴,垂足为C,

∴OC=1,BC=2.当y=0时,12x+32=0,解得x=-3,
∴A(-3,0),AC=4.
AB=42+22=25,
∴sin∠BAO=225=55.
11.B
12.D　[解析]已知B(23,2),∴OA=BC=23,故①正确;当点D运动到OA的中点处时,OD=3,而OC=2,∴CD2=7,在Rt△CPD中,PC2+PD2=7,故②正确;如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E,

∴PE⊥BC,四边形OFEC是矩形,
∴EF=OC=2,
设PE=a,则PF=EF-PE=2-a,
在Rt△BEP中,tan∠CBO=PEBE=OCBC=33,
∴BE=3PE=3a,
∴CE=BC-BE=23-3a=3(2-a).
∵PD⊥PC,
∴∠CPE+∠FPD=90°,
∵∠CPE+∠PCE=90°,
∴∠FPD=∠ECP.
∵∠CEP=∠PFD=90°,
∴△CEP∽△PFD,
∴CEPF=PCPD,
∴tan∠PDC=PCPD=CEPF=3(2-a)2-a=3,
∴∠PDC=60°,故③正确;
∵B(23,2),四边形OABC是矩形,
∴OA=23,AB=2,
∵tan∠AOB=ABOA=33,
∴∠AOB=30°.
当△ODP为等腰三角形时,
(Ⅰ)若OD=PD,则∠DOP=∠DPO=30°,
∴∠ODP=120°,∴∠ODC=60°,
∴OD=33OC=233.
(Ⅱ)当D在x轴的正半轴上时,OP=OD,∴∠ODP=∠OPD=75°.
∵∠COD=∠CPD=90°,∴∠OCP=105°>90°,故不合题意,舍去;
当D在x轴的负半轴上时,OP'=OD',∠OCP'=15°,
∴BC=BP'=23,
∴OD'=OP'=4-23,
∴D'(23-4,0).
(Ⅲ)若OP=PD,则∠POD=∠PDO=30°,
∴∠OCP=150°>90°,故不合题意,舍去.
∴当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为233,0或(23-4,0).故④正确.
13.165　[解析]过点A作AD⊥BC于点D,

∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,cosC=35,AC=2,∴DC=35×2=65,AD=AC2-CD2=22-652=85.在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AD=165.
14.解:(1)∵tanB=34,∴可设AC=3x,BC=4x,
∵AC2+BC2=AB2,
∴(3x)2+(4x)2=52,
解得x=-1(舍去)或x=1,
∴AC=3,BC=4.
∵BD=1,∴CD=3,
∴AD=CD2+AC2=32.
(2)过点D作DE⊥AB于点E,

∵tanB=34,∴可设DE=3y,则BE=4y,
∵BE2+DE2=BD2,
∴(3y)2+(4y)2=12,
解得y=-15(舍)或y=15,
∴DE=35,
∴sinα=DEAD=110 2.
15.解:(1)1　[解析]∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形,
∴sad60°=底边腰=1.
故填1.
(2)如图①所示,作CD⊥BA于点D,

∵△ABC中,CB=CA,sadC=65=ABBC,
∴AB=65BC,BD=AD=12AB=35BC.
∴CD=BC2-BD2=BC2-(35BC) 2=45BC.
∴tanB=CDBD=45BC35BC=43.
(3)如图②所示,延长AC至E,使AE=AB,连接BE,设AB=5a,则AE=5a.

∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,sinA=35,
∴BC=3a,AC=4a.
∴EC=5a-4a=a,
∴BE=a2+(3a)2=10a,
∴sadA=BEAB=10a5a=105.

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