江西专版2020中考数学复习方案第四单元图形的初步认识与三角形课时训练18直角三角形.docx

课时训练(十八)　直角三角形
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2018·滨州]在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.[2019·成都]将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图K18-1方式叠放在一起,若∠1=30°,则∠2的度数为 (　　)

图K18-1
A.10° B.15° C.20° D.30°
3.[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.[2019·杭州]在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则 (　　)
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
5.[2019·河南]如图K18-2,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A,C为圆心,大于12AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O,若点O是AC的中点,则CD的长为 (　　)

图K18-2
A22 B.4 C.3 D.10
6.[2019·滨州]满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 (　　)
A.AB=41,BC=4,AC=5
B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D.cosA-12+tanB-332=0
7.数学文化[2019·宁波]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图K18-3①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图K18-3②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　　)

图K18-3
A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和
8.[2019·株洲]如图K18-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点,若EF=1,则AB=　　　　. 

图K18-4
9.数学文化[2019·邵阳]公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图K18-5,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是　　　　. 

图K18-5
10.[2019·南京]无盖圆柱形杯子的展开图如图K18-6.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有　　　　 cm. 

图K18-6
11.[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图K18-7所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=　　　　. 

图K18-7
12.[2019·巴中]如图K18-8,等腰直角三角板如图K18-8放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
(1)求证:EC=BD;
(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

图K18-8

13.[2018·广安]如图K18-9,下面有4张形状,大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个直角边为4,面积为6的直角三角形;
(2)画一个底边为4,面积为8的等腰三角形;
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;
(4)画一个边长为22,面积为6的等腰三角形.

图K18-9
|拓展提升|
14.[2019·广元]如图K18-10,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是　　　　. 

图K18-10

15.[2019·枣庄]在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图K18-11①,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长;
(2)如图K18-11②,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证:BE=AF;
(3)如图K18-11③,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证:AB+AN=2AM.

图K18-11

【参考答案】
1.A　[解析]∵三角形为直角三角形,∴三边满足勾股定理,∴弦为32+42=5.
2.B
3.B　[解析]如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.故选B.

4.D　[解析]∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C-∠B,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选D.
5.A　[解析]过点B作BM⊥AD于点M,如图.

∵AD∥BC,
∴∠BCD+∠D=180°.
又∵∠D=90°,∴∠BCD=90°,
∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°,
∴四边形BCDM为矩形,∴BM=CDDM=BC.
连接AE,CE,
由作图可知AE=CE.
又∵O是AC的中点,
∴BF所在的直线垂直平分线段AC,
∴AB=BC=3.
在Rt△ABM中,∠AMB=90°,AM=AD-MD=1,
∴BM=AB2-AM2=32-12=22,
∴CD=22.
故选A.
6.C　[解析]A选项中,∵4<5<41,AC2+BC2=52+42=41,AB2=(41)2=41,∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形;B选项中,∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5,设AB=3k,BC=4k,AC=5k.∵AB2+BC2=(3k)2+(4k)2=25k2,AC2=(5k)2=25k2,∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形;C选项中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,
∴∠A=180°×312=45°,∠B=180°×412=60°,∠C=180°×512=75°,∴△ABC不是直角三角形;D选项中,
∵cosA-12+tanB-332=0,又∵cosA-12≥0,tanB-332≥0,∴cosA=12,tanB=33,∴∠A=60°,∠B=30°,
∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选C.
7.C　[解析]设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a.由勾股定理得,c2=a2+b2,
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)a2-ac+ab=a(a+b-c),
较小两个正方形重叠部分的一边长=a-(c-b),另一边长=a,则较小两个正方形重叠部分面积=a(a+b-c),
∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.
8.4　[解析]∵E,F分别为MB,BC的中点,∴CM=2EF=2.∵∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,
∴AB=2CM=4.故答案为:4.
9.4　[解析]∵勾a=6,弦c=10,∴股=102-62=8,∴小正方形的边长=8-6=2,∴小正方形的面积=22=4.
10.5　[解析]由题意可得,杯子内的筷子长度最长为122+92=15(cm),则筷子露在杯子外面的长度至少为20-15=5(cm).故答案为:5.
11.6-2　[解析]如图,过点A作AF⊥BC于F.

在Rt△ABC中,∠B=45°,
∴BC=2AB=22,BF=AF=22AB=2.
∵两个同样大小的含45°角的三角尺,
∴AD=BC=22,在Rt△ADF中,根据勾股定理得,DF=AD2-AF2=6,
∴CD=BF+DF-BC=2+6-22=6-2.
故答案为6-2.
12.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°.
∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BCD=∠CAE.
∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,
∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.
(2)∵△AEC≌△CDB,
∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c.
∵S梯形AEDB=12(AE+BD)·ED=12(a+b)(a+b),
S梯形AEDB=12ab+12c2+12ab,
∴12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab,
整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.
13.解:(1)直角边为4,3的直角三角形如图①,其面积为6;
(2)底边为4,底边上的高为4的等腰三角形如图②,其面积为8;
(3)直角边为10的等腰直角三角形如图③,其面积为5;
(4)底边为22,底边上的高为32的等腰三角形如图④,其面积为6.

14.8+43　[解析]如图,连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AB于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形.

设CM=x,则DM=MB=x+2.∵BC=2,∴CD=AC=22.
∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x=3-1(舍去负值),DM=MB=3+1,
∴在Rt△BDM中,BD2=MD2+MB2=8+43.
15.解:(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴BD=DC,∠BAD=12∠BAC.
∵∠BAC=90°,∴∠BAD=45°.
在Rt△ABD中∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD.
∵AB=2,∴AD=BD=2.
∵∠BMN=90°,∠AMN=30°,∴∠BMD=60°.
在Rt△BMD中,MD=BDtan∠BMD=63.
∴AM=AD-MD=2-63.
(2)证明:∵AD⊥BC,∴∠BDE+∠EDA=90°.
∵∠EDF=90°,∴∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△ABC中,∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°.
∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°,
∴∠B=∠DAF.
又∵AD=BD,∴△BED≌△AFD(ASA),
∴BE=AF.
3)证明:如图,过点M作ME⊥AB于点E,MF⊥AC于点F,∴∠MEB=∠MFN=90°.

∵AM平分∠BAC,∴ME=MF.
在四边形AEMF中,
∵∠BAC=∠MEA=∠MFN=90°,
∴四边形AEMF是矩形,∠EMF=90°,
∴∠EMN+∠NMF=90°.
∵∠BMN=90°,∴∠BME+∠EMN=90°,
∴∠BME=∠NMF,
∴△BME≌△NMF(ASA),
∴BE=NF.在矩形AEMF中,ME=MF,
∴矩形AEMF是正方形,
∴AE=AF=22AM,
∴AB+AN=AE+BE+AN=AE+NF+AN=AE+AF=2×22AM=2AM.

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