鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练20相似三角形及其应用试题.docx

课时训练(二十)　相似三角形及其应用
(限时:40分钟)

|夯实基础|
1.[2019·陇南] 如图K20-1,将图形用放大镜放大,应该属于 (　　)

图K20-1
A.平移变换 B.相似变换
C.旋转变换 D.对称变换
2.[2017·连云港] 如图K20-2,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是 (　　)

图K20-2
A.BCDF=12 B.∠A的度数∠D的度数=12
C.△ABC的面积△DEF的面积=12 D.△ABC的周长△DEF的周长=12
3.[2017·枣庄] 如图K20-3,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图K20-4中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是图中的(　　)

图K20-3

图K20-4
4.[2018·随州] 如图K20-5,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则BDAD的值为 (　　)

图K20-5
A.1 B.22 C.2-1 D.2+1
5.[2017·成都] 如图K20-6,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为 (　　)

图K20-6
A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.2∶3
6.[2018·邵阳] 如图K20-7所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,则CD的长度是 (　　)

图K20-7
A.2 B.1 C.4 D.25
7.[2019·凉山州] 在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF是　　　　. 
8.[2019·自贡] 如图K20-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,求DE.

图K20-8

|能力提升|
9.[2017·恩施州] 如图K20-9,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 (　　)

图K20-9
A.6 B.8 C.10 D.12
10.[2017·遵义] 如图K20-10,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是 (　　)

图K20-10
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
11.如图K20-11,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长,交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为 (　　)

图K20-11
A.2 B.3
C.4 D.5
12.[2018·泸州] 如图K20-12,在正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G.若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是 (　　)

图K20-12
A.43 B.54
C.65 D.76
13.[2017·随州] 在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=　　　　时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 
14.[2018·衢州] 如图K20-13,已知AB为☉O的直径,AC是☉O的切线,连接BC交☉O于点F,取BF的中点D,连接AD交BC于点E,过点E作EH⊥AB于H.
(1)求证:△HBE∽△ABC;
(2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的长.

图K20-13

|思维拓展|
15.[2017·内江] 如图K20-14,在四边形ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且CM⊥AB,M为垂足,AM=13AB.若四边形ABCD的面积为157,则四边形AMCD的面积是　　　　. 

图K20-14
16.[2019·包头] 如图K20-15,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的动点(不与点B,C重合),过点B作BE⊥BD交DF的延长线于点E,连接CE.下列结论:

图K20-15
①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;
②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE=158;
③△ABD和△CBE一定相似;
④若∠A=30°,∠BCE=90°,则DE=21.
其中正确的是　　　　.(填写所有正确结论的序号) 

【参考答案】
1.B　2.D　3.C
4.C　[解析] ∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC.∴ADAB2=S△ADES△ABC.
∵S△ADE=S四边形BCED,∴ADAB=22.
∴BDAD=AB-ADAD=2-22=2-1.故选C.
5.A
6.A　[解析] ∵点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,∴C(1,2),CD的长度是2.故选A.
7.4∶25或9∶25　[解析]在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.
如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,

∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,
∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;
如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,

∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,
∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.
故答案为4∶25或9∶25.
8.解:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,
∴∠CBD=∠D,∴CD=BC=6.
在Rt△ABC中,AC=AB2-BC2=102-62=8.
∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,
∴CEAE=DEBE=CDAB=610=35,
∴CE=35AE,DE=35BE,即CE=38AC=38×8=3.
在Rt△BCE中,BE=BC2+CE2=62+32=35,
∴DE=35BE=35×35=955.
9.C　[解析] ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC.∵∠ADE=∠EFC,∴∠ABC=∠EFC.∴EF∥AB.∴四边形DBFE是平行四边形.∴DE=BF.∵ADDB=AEEC=BFCF=53,∴BF=10.∴DE=10.故选C.
10.A　[解析] ∵点E是AD的中点,∴△EBC的面积等于△ABC的面积的12,四边形ABEC的面积等于△ABC的面积的12.
∵点D,F,G分别是BC,BE,CE的中点,
∴△EFG的面积等于△EBC的面积的14,四边形AFEG的面积等于四边形ABEC的面积的12.
∴△AFG的面积=38×△ABC的面积=4.5.
11.B　[解析] ∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°.
∵AB=10,D为AB的中点,
∴DF=12AB=AD=BD=5.∴∠ABF=∠BFD.
又∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.∴∠CBF=∠DFB.∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.∴DEBC=ADAB,即DE16=510.
∴DE=8.
∴EF=DE-DF=3.
12.C　[解析] 如图,过点F作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.

∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD.
∵FN∥AD,
∴四边形ANFD是平行四边形
∵∠D=90°,∴四边形ANFD是矩形,
∵AE=3DE,∴设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a.
∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME.
∴MN=32a.∴FM=52a.
∵AE∥FM,∴AGGF=AEFM=3a52a=65.
故选C.
13.53或125　[解析] ∵∠A=∠A,∴分两种情况:①当ADAE=ABAC时,如图①,△ADE∽△ABC,即2AE=65,∴AE=53;②当ADAE=ACAB时,如图②,△ADE∽△ACB,即2AE=56,∴AE=125.综上所述,当AE=53或125时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.

14.解:(1)证明:∵AC是☉O的切线,AB为☉O的直径,
∴AC⊥AB.
∵HE⊥AB,∴∠CAB=∠EHB=90°.
∵∠HBE=∠ABC,∴△HBE∽△ABC.
(2)如图,连接AF.∵AB是☉O的直径,

∴∠AFB=90°.∴∠CFA=∠CAB.
又∵∠C=∠C,∴△CAF∽△CBA.
∴ACCF=CBAC.
∵CF=4,BC=CF+BF=4+5=9,∴AC4=9AC.∴AC=6.
∵D为BF的中点,∴∠FAD=∠BAD.
∵HE⊥AB,EF⊥AF,∴EF=EH.
设EH=x,则EF=x,BE=5-x.
∵△HBE∽△ABC,∴HEAC=BEBC,即x6=5-x9.
∴x=2,即EH=2.
15.1　[解析] 如图,分别延长BA和CD交于点E.

∵AM=13AB,∴AM=12BM.∵CM是∠BCD的平分线,CM⊥AB,∴EM=BM.
∴AM=12EM.∴AE=12EM.
∴AE=14BE.
∵AD∥BC,
∴△EAD∽△EBC.
∴S△EADS△EBC=142,
即S△EADS△EAD+157=116.
解得S△EAD=17.
∴S△EBC=17+157=167.
∴S四边形AMCD=12S△EBC-S△EAD=12×167-17=1.
16.①②④　[解析] ∵∠ABC=90°,D为斜边AC的中点,∴ADBD=DC=12AC,∴∠DBC=∠DCB.若BF=CF,由三线合一得DF⊥BC,即DF是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∴∠DCE=∠DBE=90°.∴DE2=EC2+DC2=CE2+AD2.
故①正确;
∵AD=BD,∴∠ABD=∠BAC.若∠BDE=∠BAC,则∠ABD=∠BDE,∴DE∥AB,∴∠DFC=∠ABC=90°.可得CE=BE.∵∠ABC=∠DBE=90°,∠BDE=∠BAC,∴△ABC∽△DBE,∴BCBE=ABDB.
∵BC=3,AB=4,∴AC=5,BD=52.∴BE=BC·DBAB=3×524=158,∴CE=158,故②正确;
∵∠ABC=90°,∠DBE=90°,∴∠ABD=∠CBE.
当ABBC=BDBE时,△ABD和△CBE相似.当F在BC上运动时,BE的长度也随之变化,∴ABBC与BDBE不一定相等,∴△ABD和△CBE不一定相似.故③错误;
∵∠A=∠ABD,∠A=30°,∴∠ABD=30°,AC=2BC=6.又∵∠ABD=∠CBE,∴∠CBE=30°.
∵∠BCE=90°,BC=3,∴BE=3cos30°=23.
∵BD=12AC,∴BD=3.
在Rt△BDE中,DE=BD2+BE2=32+(23)2=21.故④正确.
综上,①②④正确.

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