福建专版2020中考数学复习方案单元测试05.docx

单元测试(五)
范围:四边形　限时:45分钟　满分:100分

一、 选择题(每小题4分,共32分)
1.一个n边形的内角和为900°,则n等于 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图D5-1,五边形ABCDE中,AB∥CD,则∠1+∠2+∠3等于 (　　)

图D5-1
A.90° B.180° C.210° D.270°
3.在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是 (　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D不能确定
4.如图D5-2,平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A(3,0),B(-2,0),顶点D在y轴正半轴上,则点C的坐标为 (　　)

图D5-2
A.(-5,4) B.(-4,5)
C.(-5,5) D.(-3,4)
5.如图D5-3,矩形的两条对角线的一个夹角为60°,两条对角线的长度之和为20 cm,则这个矩形的一条较短边的长度为 (　　)

图D5-3
A.10 cm B.8 cm
C.53 cm D.5 cm
6.如图D5-4,在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为 (　　)

图D5-4
A.45° B.55°
C.60° D.75°
7.如图D5-5,在矩形ABCD中,点E在CD上,且DE∶CE=1∶3,以点A为圆心,AE为半径画弧,交BC于点F,若F是BC中点,则AD∶AB的值是 (　　)

图D5-5
A.6∶5 B.5∶4
C.6∶5 D.5∶2
8.如图D5-6,△ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD=14BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是 (　　)

图D5-6
A.3 B.4
C.5 D.6
二、 填空题(每小题4分,共20分)
9.如图D5-7,点F,G在正五边形ABCDE的边上,连接BF,CG相交于点H,若CF=DG,则∠BHG=　　　　°. 

图D5-7
10.如图D5-8,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC=9,AC=8,BD=14,则△AOD的周长为　　　　. 

图D5-8
11.如图D5-9所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OC,OA分别在x轴,y轴上,点E在边BC上,将该矩形沿AE折叠,点B恰好落在边OC上的F处,若OA=8,CF=4,则点E的坐标是　　　　. 

图D5-9
12.如图D5-10,正方形ABCD的边长为4,G是BC边上一点.若矩形DEFG的边EF经过点A,GD=5,则FG的长为　　　　. 

图D5-10
13.如图D5-11,矩形ABCD中,BC=6,CD=3,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为　　　　(结果保留π). 

图D5-11
三、 解答题(共48分)
14.(8分)如图D5-12,在△ABC中,M是AC边上的一点,连接BM.将△ABC沿AC翻折,使点B落在点D处,当DM∥AB时,求证:四边形ABMD是菱形.

图D5-12

15.(10分)如图D5-13,四边形ABCD是矩形.
(1)尺规作图:在图中作出AB的中点E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,连接CE,DE,若AB=2,AD=3,求证:EC平分∠BED.

图D5-13

16.(12分)如图D5-14,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
(1)求证:AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.

图D5-14

17.(18分)在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线AC,BD的交点.
(1)如图D5-15①,延长OC到E,使CE=OC,作正方形OEFG,顶点G在OD的延长线上,连接DE,AG.求证:DE=AG.
(2)如图②,将问题(1)中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α(0°<α<180°),得到正方形OE'F'G',连接AE',E'G'.
①当α=30°时,求点A到E'G'的距离;
②在旋转过程中,求△AE'G'面积的最小值,并求此时的旋转角α.

图D5-15

【参考答案】
1.C　2.B　3.B　4.A　5.D
6.C　[解析]∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD.
又∵△ADE是等边三角形,
∴AE=AD=DE,∠DAE=60°,
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,∠BAE=90°+60°=150°,
∴∠ABE=(180°-150°)÷2=15°,
又∵∠BAC=45°,
∴∠BFC=45°+15°=60°.
故选C.
7.D　[解析]∵DE∶CE=1∶3,
∴设DE=a,CE=3a,
∴CD=4a=AB.
∵F是BC中点,
∴BF=12BC=12AD.
∵以点A为圆心,AE为半径画弧,交BC于点F,
∴AE=AF,
∵AF2=BF2+AB2,AE2=DE2+AD2,
∴AD24+16a2=a2+AD2,
∴AD=25a(AD=-25a舍去),
∴AD∶AB=5∶2.
故选D.
8.B　9.108
10.20　11.(-10,3)
12.165　[解析]∵四边形ABCD是正方形,四边形DEFG是矩形,
∴∠E=∠C=90°.
∵∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角,
∴∠EDA=∠CDG,∴△DEA∽△DCG,
∴DECD=ADGD,
∵ED=FG,∴FGCD=ADGD,
由已知得GD=5,AD=CD=4,
∴FG4=45,
即FG=165,
故答案为165.
13.94π　[解析]连接OE,如图,

∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,
∴OD=CD=3,OE⊥BC,
∴四边形OECD为正方形,
∴由弧DE,线段EC,CD所围成的面积=S正方形OECD-S扇形EOD=32-90·π·32360=9-94π,
∴阴影部分的面积=12×3×6-9-94π=94π,
故答案为94π.
14.证明:∵AB∥DM,
∴∠BAM=∠AMD.
∵△ADC是由△ABC翻折得到,
∴∠CAB=∠CAD,AB=AD,BM=DM,
∴∠DAM=∠AMD,
∴DA=DM.
∴DA=DM=AB=BM,
∴四边形ABMD是菱形.
15.解:(1)如图,点E为所求.

(2)证明:∵E是AB的中点,
∴AE=12AB=1.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AB∥DC,
∴DE=AD2+AE2=2,
∴DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE.
∵AB∥CD,
∴∠CEB=∠DCE,
∴∠CEB=∠DEC,
∴EC平分∠BED.
16.解:(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AE=DF.
(2)四边形AEDF是菱形.
理由:∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAE,
∵DF∥AB,
∴∠DAE=∠ADF,
∴∠DAF=∠ADF,∴AF=DF,
∴平行四边形AEDF为菱形.
17.解:(1)证明:∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD.
∴∠AOG=∠DOE=90°.
∵四边形OEFG是正方形,∴OG=OE.
∴△AOG≌△DOE,∴AG=DE.
(2)①方法一:如图,过点E'作E'M⊥AC交AC延长线于点M,过点A作AN⊥G'E'于点N,则∠E'MO=90°.

∵正方形ABCD,∴OA=OC=22AB=22.
∵正方形OEFG绕着点O逆时针旋转α(0°<α<180°)得到正方形OE'F'G',
∴∠MOE'=α=30°,∠G'OE'=90°.
∴∠OE'M=90°-∠MOE'=60°.
又∠AOG'=∠AOD-α=60°,
∴∠AOG'=∠OE'M,
∵OE'=OE=2OC=42,
∴OG'=OE'=42,
∴G'E'=OG'2+OE'2=8.
∵ME'=12OE'=22=OA.
∴△AOG'≌△ME'O.∴∠OAG'=∠E'MO=90°.
∴AG'=OM=OA·tan∠AOG'=26.
∴AM=OA+OM=22+26.
∵△AG'E'中,12AG'·AM=12E'G'·AN,
∴AN=AG'·AME'G'=3+3.
∴点A到E'G'的距离为3+3.
方法二:如图,过点E'作E'M⊥AC交AC延长线于点M,过点A作AN⊥G'E'于点N,在AN上取点P,使得AP=G'P,则∠E'MO=90°.

∵正方形ABCD,∴OA=OC=22AB=22.
∵正方形OEFG绕着点O逆时针旋转α(0°<α<180°)得到正方形OE'F'G'
∴∠MOE'=α=30°,∠G'OE'=90°.
∴∠OE'M=90°-∠MOE'=60°.
又∠AOG'=∠AOD-α=60°,
∴∠AOG'=∠OE'M.
∵OE'=OE=2OC=42,
∴OG'=OE'=42,
∴G'E'=OG'2+OE'2=8.
∴ME'=12OE'=22=OA.
∴△AOG'≌△ME'O.
∴∠AG'O=∠MOE'=30°,∠OAG'=∠E'MO=90°.
∴AG'=OA·tan∠AOG'=26.
在正方形OE'F'G'中,∠OG'E'=45°.
∴∠AG'E'=∠AG'O+∠OG'E'=75°.
∴∠NAG'=90°-∠AG'E'=15°.
∵AP=G'P,
∴∠AG'P=∠NAG'=15°.
∴∠PG'N=∠AG'E'-∠AG'P=60°.
设G'N=x,则PN=G'N·tan∠PG'N=3x,
AP=G'P=G'Ncos60°=2x.
∴AN=AP+PN=(2+3)x.
在Rt△ANG'中,AN2+NG'2=AG'2,
即[(2+3)x]2+x2=(26)2,
x2=12-63,x2=9-63+3,x2=(3-3)2,
x1=3-3,x2=-3+3(舍去),
∴AN=(2+3)x=3+3.
∴点A到E'G'的距离为3+3.
②由旋转知,G',E'在以O为圆心,OG'为半径的☉O上,G'E'为定长,且OG'=2OC=42,G'E'=2OG'=8.

∴当OA⊥G'E'时,S△AE'G'最小.
此时OA的延长线与G'E'相交于点H,且OH⊥G'E',
∴OH=12G'E'=4.
∴AH=OH-OA=4-22.
∴S△AE'G'=12E'G'·AH=16-82.
此时α=∠HOG'+∠AOD=135°.

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