认识三角形练习题.doc

认识三角形
1、三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三形。
如右的图形就是一个三角形
2、 三角形的各组成部分

3.三角形表示：“△”来表示一个三角形，如上图中，此三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△BAC等等。

4、三角形的分类
1）按角分

2）按边分

5.三角形三边性质：三角形任意两边之和大于第三边；
两边之差<第三条边<两边之和

试一试：
1. △ABC中，已知a=8,b=5，则c为 ( )
A.c=3 B.c=13 C.c可以是任意正实数 D.c可以是大于3小于13的任意数值
2. 下列长度的4根木条中，能与4cm和9cm长的2根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（　　　）
A、4cm B、9cm C、5cm D、13cm
3. 有下列长度的三条线段能构成三角形的是 ( )
A.1 cm、2 cm、3 cm B.1 cm、4 cm、2 cm
C.2 cm、3 cm、4 cm D.6 cm、2 cm、3 cm
4 、如图，以∠C为内角的三角形有 和
在这两个三角形中，∠C的对边分别为 和
5、等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为
6、三角形的三边长为3，a，7，则a的取值范围是 ；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 ；
7一个三角形的两边长分别为2㎝和9㎝,第三边长是一个奇数,则第三边的长为___________,此三角形的周长为_________.
8一个等腰三角形的两边分别为2.5和5，求这个三角形的周长。

9、画一个三角形，使它的三条边长分别为3 cm、4 cm6 cm.

三条重要线段；
1、高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。
注：（1）三角形的高必为线段；（2）三角形的高必过顶点垂直于对边；（3）三角形有三条高。
2、三角形的角平分线
1 、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线。
2、注：（1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线；
（2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角；
（3）三角形有三条角平分线。
三角形的三条角平分线相较于一点，这点叫做三角形的内心
3、三角形的中线
1、 定义：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
2、 注 1）三角形的中线必为线段；
2）三角形的中线必平分对边；
3）三角形有三条中线。
三角形的三条中线相较于一点，这点称为三角形的重心
重心定理:三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定理:垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理:三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
试一试：
1 在△ABC中，AD 是角平分线，BE是中线，∠BAD=400，
则∠CAD= ，若AC=6cm，则AE=
2 下列说法正确的是（ ）
A 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B 直角三角形只有一条高
C 三角形的三条至少有一条在三角形内
D 钝角三角形的三条高均在三角形外
3．下列各图中的AD是△ABC的高吗？若不是，画出正确图形。

4、 在△ABC中，AD 是角平分线，BE是中线，∠BAD=400，则
∠CAD= ，若AC=6cm，则AE=
5 、下列说法正确的是（ ）
A 、三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
(第4题图)
B、 直角三角形只有一条高
C 、三角形的三条至少有一条在三角形内
D 、钝角三角形的三条高均在三角形外
6、的高为，角平分线为，中线为，则把面积分成相等的两部分的线段是 。
7、如图,AD、CE分别是△ABC的中线和高.若∠B=35°,BC=12cm,则BD= cm, ∠BCE=
8、 如图,AD是△ABC的外角平分线,∠B=∠C=40°,则∠EAC= °,
9、 ∠DAC= °。图中,直线AD与直线BC有怎样的位置关系?答: .你的根据是: .

10．在△ABC，AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，则∠ADC= 。

11．说出图中的阴影线的各三角形的面积（每一小正方形的边长为一个长度单位）
12．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，
BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点。
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数。

三．例题精讲：
例1. 一个等腰三角形的周长为28cm，有一边长为8cm，则这个三角形的边长是多少？

例2、如图，，，，
且平分，求 的度数。

A
E
D
C
B
例3．如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B=700，∠ACB=500，
求∠EDC，∠BDC的度数。

认识三角形同步练习
一、选择题
1．现有两根铁条，它们的长分别是30cm和50cm，如果要做成一个三角形铁架，那么在下列四根铁条中应选取（ ）
A．20cm的铁条； B．30cm的铁条； C．80cm的铁条； D．90cm的铁条．
2．以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（ ）
A．5㎝、10㎝、15㎝； B．5㎝、10㎝、20㎝；
C．10㎝、15㎝、20㎝； D．5㎝、20㎝、25㎝．
3．已知三角形的三边长分别是3，8，x；若的值为偶数，则的值有（ ）
Ａ．6个； Ｂ．5个； Ｃ．4个； Ｄ．3个．
4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形的形状是（ ）
Ａ．锐角三角形； Ｂ．直角三角形； Ｃ．钝角三角形； Ｄ．等腰三角形．
5.三角形的角平分线是（ ）
Ａ．射线； Ｂ．直线； Ｃ．线段； Ｄ．线段或射线．
二、填空题
6.等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则这个等腰三角形的周长为 cm．
2．三角形的两边分别为4和5，第三边为，则的取值范围是_________．
3．在△ABC中，AB=9，BC=2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长是_______．
4．△ABC中，∠A=∠B=∠C，则三个内角分别为___________．
5．一个三角形最多有_________个直角：有________个锐角；有_________个钝角．
6．在△ABC中，∠A－∠B=15°，∠C=75°，则∠A=__________，∠B=__________．

7.如图，∠A＝80°，∠2＝130°，则∠1＝＿＿＿＿度

8.等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm，则第三边长为 A
B
D E C
第9题图

9.已知，如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线，高线，且AB＝5cm，AC＝3cm；则△ABD和△ADC的周长之差等于 cm；△ABD与△ACD的面积关系是 ．
10.用一根长为15cm的细铁丝围成一个三角形，其三边的长（单位：cm）分别为整数a、b、c，且a>b>c，
（1）请写出一组符合上述条件的a、b、c的值 ；
（2）a最大可取 ，c最小可取 ．

11.如图在△ABC中，，D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=50°，求∠A的度数.

12.如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数．

全等三角形

一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）
1、了解全等形及全等三角形的概念；
2、掌握全等三角形的性质，体会通过三角形的平移、翻折和旋转，图形变换的保形性
3、掌握一般三角形全等的四种判定方法和直角三角形全等的判定方法，会运用三角形全等解决日常生活中问题；
4、会画角平分线，了解角平分线的性质和判定方法

二、知识疏理
1、三角形全等的有关概念和性质
能够完全重合的两个图形叫做全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等

2、一般三角形全等的判定
（1）边角边公理（SAS）：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等
（2）角边角公理（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（3）角角边公理（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
（4）边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等

3、直角三角形全等的特殊判定方法
斜边直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
注意：判定直角三角形全等也可以用SAS,ASA,AAS,SSS。

4、角的平分线的定义、性质和判定定理
定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线
性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等
判定：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
三、典型例题解析
例1 如图，,AB=DE, ，
则的对应角为 ，
BC的对应边为 。

例2 如图，,且CF=3cm，,
则BC= cm, = .

例3 下列说法错误的是（ ）
A.全等三角形对应边相等
B.全等三角形对应角相等
C.若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点
D.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角

例4 在中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD，
（1）求证：;
（2）求证：.

例5 如图，在中，，AM平分,CM=20cm，
那么M到AB的距离是 cm.

例6 如图所示，已知AC平分,,求证：AB=AD。

例7 已知：如图，在中，AB=BC, ,F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF。
（1）求证：AE=CF；
（2）若,求的度数。

四、实战演练（课堂练习）
1、下列判断不正确的是( ) ．
A．形状相同的图形是全等图形 　 B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同 D．全等三角形的对应角相等

2、如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3
C．5 D．2.5
3、如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC。其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图：AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（ ）对全等三角形。
A．2 B．3 C．4 D．5
5、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
6、．如图，D是∠BAC的平分线上一点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，下列结论中不正确的是（　　）
A．DE=DF　 　 B．AE=AF C．△ADE≌△ADF　　 D．AD=DE+DF
7、如图：EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
8、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

9、如图：直线a，b，c表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长是（ ）
A．6㎝ B．4㎝
C．10㎝ D．以上都不对

二、填空题
11、如图：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°则∠C= ；

13、已知，如图2：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF。若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；

14、如图3：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米 到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为_____米。
15、如图：在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= ；
16、如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED =_____．

(第16题) (第17题)

17、如图：两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x =_______．
18、、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_____。

19、如图：AB，CD相交于点O，∠B =∠C=90°，请你补充一个条件，
使得△RtABD≌△RtCDB，你补充的条件是 ；

20、如图：在△ABC中，∠B =∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，则∠BAD = 。

21、如图：AC=DF，AD=BE，BC=EF。求证：∠C=∠F。

22、如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC。

23、如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。
求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。

24、如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。
求证：AF平分∠BAC。

尺规作图专题
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1） 作射线AP；
（2） 在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于　　　
　的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）

题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于　　　
　的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3） 作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）

题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1） 作线段AB = c；
（2） 以A为圆心b为半径作弧，
以B为圆心a为半径作弧与
前弧相交于C；
（3） 连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠.
求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.
作法：
（1） 作∠A=∠；
（2） 在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3） 连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。

题目七：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠，∠，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.
作法：
（1） 作线段AB=m；
（2） 在AB的同旁
作∠A=∠，作∠B=∠，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

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