三角函数图像和性质习题课(含答案).doc

三角函数的图像和性质习题课
例1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是______．
解析　y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，即关于y轴对称
∴sin φ＝±1，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
例2．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值为________．
解析　y＝sin 2x向右平移φ个单位得y＝sin(2x－2φ)x＝是一条对称轴，
则2×－2φ＝kπ＋(k∈Z∴φ＝－(k∈Z)，∴φ的最小值为.
例3．将函数y＝sin(2x＋θ)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则θ的值为________．
解析　设f(x)＝sin (2x＋θ)，则f＝sin＝sin.
由已知，f＝sin.∴＋θ＝，∴θ＝－.
例4．设ω>0为常数，函数y＝2sin ωx在上单调递增，则实数ω的取值范围是__________． 答案　0<ω≤
例5．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题
(1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
(2)y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
(3)y＝f(x)图象关于对称； (4)y＝f(x)图象关于x＝－，对称．
其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin利用公式得：f(x)＝4cos＝4cos. ∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对； 对于④，
函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．∴④错．
例6．(创新拓展)已知f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，
(1)当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围；
(2)当x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范围．
解　(1)由f(x)＝0，有a＝sin2x－sin x＝2－.
当sin x＝－1时，amax＝2；当sin x＝时，amin＝－.∴a∈.
(2)由1≤f(x)≤有1≤－sin2x＋sin x＋a≤，即a≤sin2x－sin x＋和a≥sin2x－sin x＋1对k∈R恒成立．由sin2x－sin x＋＝2＋4≥4，得a≤4.由sin2x－sin x＋1＝2＋≤3，得a≥3. 故3≤a≤4.

练习：
1．函数y＝sin的周期是________，振幅是________，当x＝________时，ymax＝________；当x＝________时，ymin＝________.　
答案　4π　　4kπ＋π (k∈Z)　　4kπ－(k∈Z)　－
2．把函数y＝sin 的图象向 __ __ ____，可以得到函数y＝sin 的图象．
解析　由y＝sin ， 而y＝sin＝sin（x－＋），
即将y＝sin向右平移个单位，得y＝sin.
3．将正弦曲线y＝sin x上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．
解析　由y＝sin x向左平移得y＝sin，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin.
4．函数y＝的值域为____________． 答案　
5．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
解　y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1
＝42－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝42－2 (－1≤t≤1)
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2；
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
6．函数y＝asin＋b的值域为，求a的值，以及原函数的单调递增区间．
解　(1)当a>0时，∴a＝，b＝2，∴y＝sin＋2.
又∵－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z.∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
∴原函数的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当a<0时，∴a＝－，b＝2.∴y＝－sin＋2.
又∵＋2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z.∴＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
∴原函数的单调递增区间为，k∈Z.
7．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

解　(1)由题意知A＝，T＝4×＝π，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.∴y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x
－

π
π
π
2x＋
0

π
π
2π
y
0

0
－
0
描点，连线，如图所示：

8．(创新拓展)已知函数f(x)＝2cos ωx(ω>0)，且函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
解　(1)函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为
∴T＝2×＝π，∴ω＝＝＝2，∴f(x)＝2cos 2x，则f＝2cos＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos 2x，向右平移个单位得
y＝2cos再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g(x)＝2cos
由2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z
即函数g(x)＝2cos的递减区间为，k∈Z.