初高中数学衔接教材浙江省温州中学.doc

初高中数学衔接教材

乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－ay
－by
x
x
图1．1－4
－2
6
1
1
图1．1－3
－1
－2
1
1
图1．1－2
－1
－2
x
x
图1．1－1

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．1－4，得
－1
1
x
y
图1．1－5
＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

习 题 一
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）__________________________________________________。
（2）_____________________________
（3）__________________________________________________。
（4）__________________________________________________。
（5）__________________________________________________。
（6）__________________________________________________。
（7）_________________________________________________
（8）__________________________________________________。
（9）__________________________________________________。
（10）__________________________________________________。
2、
3、若则，。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）（2）（3）（4）
（5）中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式得（ ）
A、 B、 C、 D、
3、分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
4、若多项式可分解为，则、的值是（ ）
A、， B、， C、， D、，
5、若其中、为整数，则的值为（ ）
A、或 B、 C、 D、或
三、把下列各式分解因式
1、 2、

3、 4、

第二讲 一元二次方程

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
例1 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

例2 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴ 或
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x2－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

习 题 二
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B 组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）
（A） （B）3 （C）6 （D）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是 （ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：
若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ．
3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；
（3）若k＝－2，，试求的值．

第三讲 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
.
设AD、CF交于点，同理可得，
则与重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.
证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.

即.
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分，
（角平分线性质定理）
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
，即.
同理可得，AB=BC.
为等边三角形.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

习 题 三
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.

2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.