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名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质全部重要知识点

单选题
1、定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式x⋅f(x)>0的解集为（    ）
A．(-∞,-2)∪(2,+∞)B．(-2,0)∪(0,2)
C．(-2,0)∪(2,+∞)D．(-∞,-2)∪(0,2)
答案：C
分析：结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，
所以f(x)在-∞,0上单调递减，且f(-2)=0，
x⋅f(x)>0⇒x>0fx>0或x<0fx<0，
故x>2或-20x-3≠0，解得x>2且x≠3．
∴函数f(x)=1x-2-(x-3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．
故选：C．
3、“幂函数fx=m2+m-1xm在0,+∞上为增函数”是“函数gx=2x-m2⋅2-x为奇函数”的（    ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：A
分析：要使函数fx=m2+m-1xm是幂函数，且在0,+∞上为增函数，求出m=1，可得函数gx为奇函数，即充分性成立；函数gx=2x-m2⋅2-x为奇函数，求出m=±1，故必要性不成立，可得答案.
要使函数fx=m2+m-1xm是幂函数，且在0,+∞上为增函数，
则m2+m-1=1m>0，解得：m=1，当m=1时，gx=2x-2-x，x∈R，
则g-x=2-x-2x=-2x-2-x=-gx，所以函数gx为奇函数，即充分性成立；
“函数gx=2x-m2⋅2-x为奇函数”，
则gx=-g-x，即2x-m2⋅2-x=-2-x-m2⋅2x=m2⋅2x-2-x，
解得：m=±1，故必要性不成立，
故选：A．
4、已知三次函数f(x)=2x3+3ax2+bx+c(a,b,c∈R)，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)=2022，则f(2023)=（    ）
A．2023B．2027C．2031D．2035
答案：D
分析：根据题意，构造函数gx=fx-x，根据g2020=g2021=g2022=0可以知道gx=2x-2020x-2021x-2022，进而代值得到答案.
设gx=fx-x，则g2020=g2021=g2022=0，所以gx=2x-2020x-2021x-2022，所以g2023=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035
故选：D.
5、若函数f(x)=x2-mx+10在(-2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（    ）
A．[2,+∞)B．[-4,+∞)
C．(-∞,2]D．(-∞,-4]
答案：A
分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.
函数f(x)=x2-mx+10的对称轴为x=m2，由于fx在(-2,1)上是减函数，
所以m2≥1⇒m≥2.
故选:A
6、设函数f(x)=x2+2(4-a)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）
A．a≥-7B．a≥7C．a≥3D．a≤-7
答案：B
分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.

函数f(x)的对称轴为x=a-4，
又∵函数在(-∞,3]上为减函数，
∴a-4⩾3，即a⩾7．
故选：B.
小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
7、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集是（    ）
A．(-2,2)B．(-2,0)∪(2,+∞)
C．(-∞,-2)∪(0,2)D．(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案：C
分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得fx在-∞,0上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到fx的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
解：因为函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，
即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又fx是定义在R上的偶函数，所以fx在-∞,0上单调递增，
又f(2)=0，所以f-2=f2=0，函数的大致图像可如下所示：

所以当-20，当x<-2或x>2时fx<0，
则不等式xf(x)>0等价于f(x)>0x>0或f(x)<0x<0，
解得0f(x)=(x-3)0x-2定义域为（ ）
A．[2，+∞)B．(2，+∞)
C．(2，3)∪(3，+∞)D．[2，3)∪(3，+∞)
答案：C
分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.
要使函数f(x)=(x-3)0x-2有意义， 
则{x-3≠0x-2>0，解得x>2且x≠3，
所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
故选：C.
小提示：具体函数定义域的常见类型：
（1）分式型函数，分母不为零；
（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；
（3）对数型函数，真数大于零；
（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；
5）实际问题中的函数，要具有实际意义.
9、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ）
A．f(x)=x2-xx，gx=x-1
B．f(x)=x2，g(x)=x2
C． fx=x2-2，gt＝t2－2
D．fx=x+1⋅x-1，g(x)=x2-1
答案：C
分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
解：由题意得：
对于选项A：f(x)=x2-xx的定义域为x|x≠0，g(x)=x-1的定义域为R，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：f(x)=x2的定义域为R，g(x)=x2的定义域为x|x≥0，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：fx=x2-2的定义域为R，gt=t2-2的定义域为R，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：fx=x+1⋅x-1的定义域为x|x≥1，g(x)=x2-1的定义域为{x|x≤-1或x≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
10、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（    ）
A．-3B．-2C．0D．1
答案：A
分析：法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,⋯,f6的值，即可解出．
[方法一]：赋值加性质
因为fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6．因为f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，f6=f0=2，所以
一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由fx+y+fx-y=fxfy，联想到余弦函数和差化积公式
cosx+y+cosx-y=2cosxcosy，可设fx=acosωx，则由方法一中f0=2,f1=1知a=2,acosω=1，解得cosω=12，取ω=π3，
所以fx=2cosπ3x，则
fx+y+fx-y=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x-π3y=4cosπ3xcosπ3y=fxfy，所以fx=2cosπ3x符合条件，因此f(x)的周期T=2ππ3=6，f0=2,f1=1，且f2=-1,f3=-2,f4=-1,f5=1,f6=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
填空题
11、函数y=7+6x-x2的定义域是_____.
答案：[-1,7].
分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.

由已知得7+6x-x2≥0,
即x2-6x-7≤0
解得-1≤x≤7，
故函数的定义域为[-1,7].
小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
12、已知幂函数fx的图象过点2,4，则f-1=______．
答案：1
分析：根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.
依题意，设f(x)=xα，α为常数，则2α=4，解得α=2，即f(x)=x2，
所以f(-1)=1.
所以答案是：1
13、已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，0]
分析：根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可.
当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；
当a≠0时，则a<0,1a≤2,⇒a<0，综上得a≤0．
所以答案是：(－∞，0]
14、关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=π2对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
答案：②③
分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取-πin(π2+x)=cosx+1cosx，则f(π2-x)=f(π2+x)，
所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；
对于命题④，当-πx2，将函数f(x)化为分段函数，分类讨论a，当a≤0时，可知函数f(x)在区间(-∞,-2)上不可能单调递增；当a>0时，根据x1的范围可知恒满足函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增，根据解析式可知f(x)在[a4,+∞)上单调递增，再由a4≤2可解得结果.
设g(x)=x2-ax-4，其判别式Δ=a2+16>0，所以函数g(x)一定有两个零点，
设函数g(x)的两个零点为x1,x2，且x1x2，
①当a≤0时，f(x)在(-∞,x1)上单调递减或为常函数，从而f(x)在(-∞,-2)不可能单调递增，故a>0，
②当a>0时，x1=a-a2+162 0，所以x1>-2，
所以-2上所述：实数a的取值范围是0判断该函数为非奇非偶函数.
（1）
f(x)的定义域为R，它关于原点对称.
f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x)，故f(x)为偶函数.
（2）
f(x)的定义域为R，它关于原点对称.
f(-x)=(-x)5-(-x)=-x5+x=-f(x)，故f(x)为奇函数.
（3）
f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.
f(-x)=-3x1-(-x)2=-f(x)，故f(x)为奇函数.
（4）
f(1)=|1|+1=2,f(-1)=0，
故f(1)≠f(-1),f(-1)≠-f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.
17、已知函数fx=x2，对任意实数t，gtx=-tx+1.
（1）求函数y=g0x-fx的奇偶性；
（2）hx=xfx-gtx在0,2上是单调递减的，求实数t的取值范围；
（3）若fxqxmax，讨论qx=fxg2x的单调性，求出最大值，解不等式即可求出m的取值范围.
（1）记px=g0x-fx=1-x2，定义域为R，
因为p-x=1--x2=1-x2=px，所以y=g0x-fx为偶函数.
（2）hx=xfx-gtx=1x+tx-1，
任取0≤x10恒成立.
因为0≤x10,00恒成立，
即t<1x1x2恒成立，
因为0x∈0,13上的值域为13，1，
∴要使fxfxg2x对任意x∈0,13恒成立.
记qx=fxg2x=x2-2x+1,0qxmax.
任取00,-2x2+1>0,x1-x2<0,2x1x2+x1+x2>0，
所以x1-x22x1x2+x1+x2-2x1+1-2x2+1<0，所以 qx=x2-2x+1在0,13单增，
所以qxmax=q13=19-2×13+1=13，
即m>13，解得：m>13或m<-13，
所以m的取值范围是-∞，-13∪13，+∞
小提示：（1）定义法证明函数单调性的步骤：
①取值；②作差；③定号；④下结论．
单调性法求最值是求值域最常用的方法；
（2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决.
18、已知幂函数fx=m2-2m+2x5k-2k2（k∈Z）是偶函数，且在0,+∞上单调递增．
（1）求函数fx的解析式；
（2）若f2x-1足2a+3b=7m，求3a+1+2b+1的最小值．
答案：（1）fx=x2；（2）-1,1；（3）2．
分析：（1）根据幂函数的定义求得m，由单调性和偶函数求得k得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“f”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
解析：（1）．∵m2-2m+2=1，
∴m=1
∵5k-2k2>0，
∴01,1
（3）由题可知∵2a+3b=7，
∴2a+1+3b+1=12⇒a+16+b+14=1
∴3a+1+2b+1=a+16+b+14⋅3a+1+2b+1=1+34⋅b+1a+1+a+13b+1≥1+214=2，
当且仅当34⋅b+1a+1=a+13b+1⇒2a=3b+1，即a=2，b=1时等号成立．
所以3a+1+2b+1的最小值是2．
19、已知函数fx=mx2-1x+n是奇函数，且f2=32.
(1)求实数m,n的值；
(2)用函数单调性的定义证明：fx在0,+∞上单调递增；
(3)当x>0时，解关于x的不等式：fx2>f2x+3.
答案：(1)m=1，n=0，
2)证明见解析，
(3)(3,+∞)
分析：（1）由题意可得m(-x)2-1-x+n=-mx2-1x+n，求出n=0，再由f2=32可求出m=1，
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x12x+3，解不等式可得结果
（1）
因为函数fx=mx2-1x+n是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，即m(-x)2-1-x+n=-mx2-1x+n，
mx2-1-x+n=-mx2-1x+n，
所以-x+n=-(x+n)，解得n=0，
所以fx=mx2-1x
因为f2=32，
所以4m-12=32，解得m=1，
（2）
证明：由（1）可知fx=x2-1x=x-1x
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x10，1+1x1x2>0，
所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以fx在0,+∞上单调递增；
（3）
当x>0时，x2>0,2x+3>0，
由（2）可知fx在0,+∞上单调递增，
因为fx2>f2x+3，
所以x2>2x+3，即x2-2x-3>0，解得x<-1（舍去），或x>3，
所以不等式的解集为(3,+∞)