线性规划问题教学提纲.docx

线性规划问题

数学模型实验报告

投资规划问题

姓名 田璐璐
学号 1112123067
专业及班级 统计1102

1某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
（1） 政府及代办机构的证券至少要购进400万元；
（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
问题：
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

一、 摘要
本文针对证券投资问题，采用线性规划模型，用Lingo软件求解得到了不同限制条件下的最佳投资方案。
对于问题一，该经理有1000万元资金，进行投资。即在一定的约束条件下，建立线性规划模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。

对于问题二，涉及到借款的问题，收益就会因借款而减小。同样运用线性规划的方法，对整体求最优解。在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.424万元

对于问题三，在问题一的基础上，进行灵敏度分析，当变量在一定范围里变动时，不改变投资计划。用LINGO求解，若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。

关键词：线性规划、LINGO、灵敏度分析

二、 问题的复述
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者要有正确的投资决策。可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
建立模型：
（1）若该经理有1000万元资金，投资建立模型使收益最大化
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

三、 问题的分析
该问题属于线性规划问题，即在一定约束条件下建立线性规划模型，找到最优的解，使利润最大化。通过建立模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。
四、 问题的假设
（1） 假设该经理所购证券都只是简单地一次投资，不进行再投资。
（2） 假设题中所涉及的收益率和利率都与年限无关。
（3） 假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。
（4） 假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。
（5） 假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。

五、 符号说明
x1 投资证券A的金额
x2 投资证券B的金额
x3 投资证券C的金额
x4 投资证券D的金额
x5 投资证券E的金额
y 以2.75%的利率借到的资金金额
w 所有投资的证券总收益

六、 建立数学模型及求解
模型一
建立模型：
目标函数：
设所有投资的证券总收益为W万元,

约束条件：
政府及代办机构证券购买量：
平均信用等级：不超过1.4，即：
平均到期年限：不超过5年，即：
总资金：
模型求解：
Max
S.t.

用LINGO求解，可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。

模型二
建立模型：
目标函数：
设所有投资的证券总收益为W万元,

约束条件
政府及代办机构证券购买量：
平均信用等级：不超过1.4，即：
平均到期年限：不超过5年，即：
总资金：
模型求解
Max
S.t.

用LINGO求解，若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。
模型三
建立模型：根据模型一的灵敏度分析（附录）得，证券A的税前收益増加0.35%，减少1.3%，原投资计划不改变。而证券A的税前收益率增加为4.5%，只增加了0.2%，所以投资不改变。
证券c的税后收益率增加1.733333%，减少0.056%，原投资计划不改变。即税前可增加3.4%，可减少0.112%。若证券C的税前收益减少为4.8%即减少了0.2%，要改变原投资计划。
目标函数：
设所有投资的证券总收益为W万元,

约束条件：
政府及代办机构证券购买量：
平均信用等级：不超过1.4，即：
平均到期年限：不超过5年，即：
总资金：

模型求解
模型求解：
Max
S.t.

在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。
证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.424万元
七、 模型的评价
优点：（1）建立的模型可在一定约束条件下，给出最优解。
（2）利用lingo软件进行的灵敏度分析，能给人直观的解。
（3）所建立的数学模型在一定条件下符合实际情况。
缺点：（1）没有考虑投资年限问题，在实际情况中不太适用。
（2）这里假设是简单投资，没有考虑再投资问题，不符合实际情况。

八、 模型的改进
使用数据计算结果，进行分析与检验：此模型只是简单的线性规划模型，有效地表示出了各个量之间的关系，更以全局最优解为参照，详细地算出了各个约束的影子价格。没有将更多的变量引入，未能将收益与现实更紧密的联系结合起来，在计算投资金额时，有一定的误差。此模型因本身局限，并不能以点盖面地显示出其他有效信息，运用不广。
如果该题能给出投资年限对收益率的影响，我们将会找到更适用的投资方案。
九、 参考文献
[1] 赵静 但琦等 《数学建模与数学实验》（第三版） 高等教育出版社2007年6月
[2]姜启源等, 《数学模型》（第四版），高等教育出版社，2010年8月
十附录
1、LINGO求解模型一代码：
max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
st
x1+x2+x3+x4+x5<1000
x2+x3+x4>400
2x1+2x2+x3+x4+5x5<1400
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5<5000
end
Global optimal solution found.
Objective value: 29.83636
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 5

Variable Value Reduced Cost
X1 218.1818 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 736.3636 0.000000
X4 0.000000 0.6363636E-03
X5 45.45455 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 29.83636 1.000000
2 0.000000 0.9363636E-02
3 336.3636 0.000000
4 0.000000 0.6181818E-02
5 0.000000 0.2363636E-02

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1300000E-01
X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY
X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03
X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY
X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01

Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 1000.000 266.6667 180.4878
3 400.0000 336.3636 INFINITY
4 1400.000 1057.143 200.0000
5 5000.000 1000.000 1200.000

2、LINGO求解模型二代码
max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5-0.0275y
st
x2+x3+x4>=400
x1+x2+x3+x4+x5-y<=1000
0.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5<=0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
y<100
end
Global optimal solution found.
Objective value: 30.07000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost
X1 240.0000 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 810.0000 0.000000
X4 0.000000 0.6363636E-03
X5 50.00000 0.000000
Y 100.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 30.07000 1.000000
2 410.0000 0.000000
3 0.000000 0.2983636E-01
4 0.000000 0.6181818E-02
5 0.000000 0.2363636E-02
6 0.000000 0.2336364E-02

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1070833E-01
X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY
X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03
X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY
X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01
Y -0.2750000E-01 INFINITY 0.2336364E-02

Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 400.0000 410.0000 INFINITY
3 1000.000 INFINITY 556.7901
4 0.0 1288.571 220.0000
5 0.0 1100.000 1320.000
6 100.0000 INFINITY 100.0000

3、LINGO求解模型三代码：
max 0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5
st
x1+x2+x3+x4+x5<1000
x2+x3+x4>400
2x1+2x2+x3+x4+5x5<1400
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5<5000
end
Global optimal solution found.
Objective value: 29.42400
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost
X1 336.0000 0.000000
X2 0.000000 0.3064000E-01
X3 0.000000 0.4400000E-03
X4 648.0000 0.000000
X5 16.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 29.42400 1.000000
2 0.000000 0.8320000E-02
3 248.0000 0.000000
4 0.000000 0.6360000E-02
5 0.000000 0.2440000E-02

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.4300000E-01 0.1600000E-01 0.2750000E-02
X2 0.2700000E-01 0.3064000E-01 INFINITY
X3 0.2400000E-01 0.4400000E-03 INFINITY
X4 0.2200000E-01 0.2033333E-01 0.5000000E-03
X5 0.4500000E-01 0.1100000E-01 0.2650000E-01

Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 1000.000 133.3333 151.2195
3 400.0000 248.0000 INFINITY
4 1400.000 885.7143 66.66667
5 5000.000 400.0000 2100.000