高二数学函数的最值与导数测试题-(有答案).doc

函数的最值与导数
一、选择题
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0　　　　　　　 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
[答案]　A
[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数∴f′(x)＝0，故应选A.

2．函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋7(　　)．
A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47
B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47
C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47
D．以上都不对
解析　f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.
答案　A

3．设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：选D　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．

4．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(　　)
A. B．2
C．－1 D．－4
[答案]　C
[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)
令y′＝0解得x＝或x＝－1
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；
当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.
所以函数的最小值为－1，故应选C.
5．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为(　　)
A. B．1
C．0 D．不存在
[答案]　A
[解析]　y′＝－＝·
由y′＝0得x＝，在上y′>0，在上
y′<0.∴x＝时y极大＝，
又x∈(0,1)，∴ymax＝.
6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
[答案]　A
[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，
令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．
∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.
7．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.或－
[答案]　C
[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.
当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．
当－1f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3
∴a≥－3，故应选B.
二、填空题
9．(2011·江南十校)当函数y＝x·2x取极小值时，x＝______
答案　－ 解析　由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－

10．(2014·营口三中期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则a＋b等于______
A．2　　　 B．3　　　 C．　　　 D．9
[答案]　6 [解析]　f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知x＝1是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＋b＝6.

11．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
[答案]　－1
[解析]　f′(x)＝＝ 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)
当x>时，f′(x)<0；当00；
当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.
12．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
[答案]　32
[解析]　f′(x)＝3x2－12
由f′(x)>0得x>2或x<－2，
由f′(x)<0得－2 ②
解由①②组成的方程组，可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
令，可得；
令，可得．
∴函数的单调增区间为，减区间为.[来源:学

14．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．
[解析]　(1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln2＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
15．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
[解析]　(1)对函数f(x)求导，得
f′(x)＝＝－
令f′(x)＝0解得x＝或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，)

(，1)
1
f′(x)

－
0
＋

f(x)
－

－4

－3
所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；
当x∈时，f(x)是增函数．
当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g′(x)＝3(x2－a2)．
因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.
因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．
又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．
任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，
则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．
即
解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.
又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.