概率论与数理统计-期末试卷及答案.doc

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华中师范大学2010——2011 学年第一学期
_____ 专业 ___ 级《 概率统计 》期末试卷（A）
考试形式：（ 闭卷 ) 考试时间——--—---—监考老师：———————-—
一、填空题（共20 分,每小题 2 分）
1．设独立，则 0。28 。
2．一袋中装有5只球,编号为1，2，3，4，5. 在袋中同时取3只，最大号码为4的概率是 0。3 。
3．设随机变量服从泊松分布，且, 则 。
4。 设随机变量服从，则 _-0.4 , 1.44 。
5。 若，则= （用标准正态分布函数表示）.
6.设随机变量的密度函数为, 则 0.5 ,
0 .
7。设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式有___________ 。
8。 设是次独立试验中事件发生的次数，为在每次试验中发生的概率，则对任意的，有 0 。
9．若总体,是来自的样本，令统计量 ,则当 时，服从分布，自由度为 2 .
10。 设总体的均值已知，方差未知。为来自的一个样本,
为的无偏估计，则= _____ 。
二、选择题（共10 分,每小题 2 分）
1、设随机变量在上服从均匀分布，则（ B )
A。 B.
C. D。
2、设相互独立的随机变量具有同一分布,且的分布律为（ A ）
令，则（ ）.
A。 B。 C. D。
3、如果和满足，则必有（ B )
A。与独立 B。与不相关
C。 D。
4、设1，2，2,3，4为来自均匀分布总体的样本值,则未知参数的最大似然估计为（ C ）
A. 1。2 B. —1 C。 4 D. 2。4
5、设总体，均未知，现从中抽取容量为的样本，分别为样本均值和样本方差，则的置信水平为的置信区间为( A )
A. B.
C。 D。
三、计算及证明(共60 分,每小题 10 分）
1、设某地区应届初中毕业生有70％报考普通高中，20％报考中专，10%报考职业高中，录取率分别为90%，75%，85％，试求:
（1） 随机调查学生，他如愿以偿的概率；
（2 若某位学生按志愿被录取了，那么他报考普通高中的概率是多少？
解：表示该学生被录取,表示该生报考普通高中，表示该生报考中专，表示该生报考职业高中.
(1） （5分）
(2） （5分）
2、证明题:
若随机变量，则。
解法一：的分布函数为
（5分）
令，得
所以。 （5分)
解法二：令,则
在上严格单调递增
其反函数为，， (4分）
的密度函数为
所以. （6分)
3、已知随机变量的联合分布律为

-1
0
1
—1

0

0

1

试求:（1),，
(2)问是否相关，是否独立。
解：（1）与的边缘分布律分别为
(3分)
(3分）
（2），从而
所以与不相关.
又，故二者不独立. （4分）
4、已知 的联合密度函数为，
求：① 常数;②；③ 边缘密度函数，。
解、① 由
得到 （3分）
②
（3分）
③ 显然，当时， ,
当时，
即 （2分）
同理，可得 （2分)
5、规定某种药液每瓶容量的为毫升，实际灌装时其量总有一定的波动。假定灌装量的方差＝1，每箱装36瓶，试求一箱中各瓶的平均灌装量与规定值相差不超过0。3毫升的概率？(结果请用标准正态分布函数表示）
解：记一箱中36瓶药液的灌装量为，它们是来自均值为，方差＝1的总体的样本。本题要求的是事件
｜－｜≤0.3
的概率.根据定理的结果,
P （6分）
=2 (4分）
6、设总体的密度函数为
其中，为未知参数.为总体的一个样本，为一相应的样本值,求未知参数的矩估计量和最大似然估计量。
解:矩估计:
。
由此得 .
令 ,得的矩估计量为. (5分)
最大似然估计:
设是一个样本值。 似然函数为
令
得的最大似然估计值为
得的最大似然估计量为 （5分)
四、应用题(共10 分，每小题 10 分）
某厂用自动包装机装箱,额定标准为每箱重100kg，设每箱质量服从正态分布，,某日开工后,随机抽取10箱，称得质量（kg）为
现取显著水平，试检验下面假设
，
是否成立。
（附：,
)
解：检验假设，
检验统计量 (3分）
显著性水平，查表可得
拒绝域为 (3分）
经计算得样本均值是
检验统计量的值为 （2分）
所以,在显著性水平下，接受原假设，表明这天包装机正常工作。（2分）
2