直线与椭圆专题复习.doc

直线与椭圆专题复习资料
一、椭圆的第一定义：
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） （A）2 （B）6 （C）4 （D）12
☆2.已知椭圆的左右焦点为，设P是椭圆上的任意一点，若的外角平分线为，焦点在上的射影M的轨迹方程是 .
二、椭圆的第二定义：
1. 离心率=，一条准线方程为x=的椭圆的标准方程为________________；
2.点A（1，1）、（4，0），点M在椭圆上运动，则的最小值为 ．
☆3．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ）
A．10 B． C． D．
三、椭圆的离心率
1、椭圆 +=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，则椭圆的离心率e为 。
2．已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为 （ ） A．　 B．　 C．　D．
3．椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，则e的取值范围为 。

4．以为中心，，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为 （ ） A. B. C. D.
5．（全国卷1）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
6.（四川2012文科15）椭圆为定值，且的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_____________。
7.（四川2010理9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（*u.c o*m ）
（A） （B） （C） （D）
四、夹角问题
1、设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

2、已知椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，已知 ,求a的取值范围.

五、 椭圆中“焦点三角形”
证明结论1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为，那么此焦点三角形的面积大小为，特别地，当PF1⊥PF2时的面积为。

证明结论2. 是椭圆（＞＞0）的两个焦点，是椭圆上的一点，对于焦点三角形，当为短轴端点时，最大。

3．设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，则的值为 。
4．椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足1·2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围为 。
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
6．椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率为 。
7．已知动点P与两个定点距离之和为定值，且的最小值为，则动点P的轨迹方程为__________________。

六、中点弦和对称问题
1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.
2过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

3、已知某椭圆的焦点是．，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，椭圆上不同的两点,满足条件：成等差数列．
(I)求该椭圆方程； (II)求弦中点的横坐标；
(III)设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围．

4、

P
A
B
C
l
七、弦长和面积
1、如图，A、B为两个定点，且 | AB | =2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求△OEF的面积.

2、 设椭圆C: 的离心率，右焦点到直线 的距离,O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，求弦AB长度的最小值.

八、取值范围问题
1、的两个顶点所在的平面内两点、同时满足下列条件：①为的重心；②为的外心；③（I）求顶点的轨迹方程；（II）过点的直线与顶点的轨迹交于不同的两个点、，求的取值范围．

2、已知点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方,.（I）求点的坐标;（II）设椭圆长轴上的一点, 到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值.

九、定值、定点问题
1、已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

2、（15陕西）如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.