2020-2021学年高二物理教科版选修3-4学案：1.2-单摆-Word版含解析.docx

学案2　单摆
[学习目标定位]　1.理解单摆模型及其振动的特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.了解影响单摆周期的因素，会用周期公式计算周期和摆长．

1．一个做往复运动的物体，当它所受到的回复力满足F＝－kx，则这个物体做简谐运动．
2．物理学中争辩多个物理量的关系时，常接受把握变量法，即每一次只转变其中的某一个变量，而把握其余几个量不变，从而争辩被转变量对要争辩问题的影响．

一、单摆的简谐运动
1．如图1所示，假如细线的质量与小球相比可以忽视，球的直径与线的长度相比也可以忽视，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的抱负化模型．

图1
2．在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以推断单摆做简谐运动．
二、单摆的周期和摆长的关系
单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，周期公式为T＝2π .

一、单摆的回复力
[问题设计]
一阵风吹过，大厅里的吊灯，微微摇摆起来，久久不停……(模型如图1)，试着用所学学问证明吊灯的往复运动是简谐运动．
答案　

吊灯在摇摆过程中的受力如图所示，绳子的拉力F′与重力的分力G2都与吊灯的运动方向垂直，对吊灯运动速度的大小及速度向左还是向右都没有影响其合力供应了吊灯做圆周运动所需的向心力，而重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ供应了使吊灯振动的回复力，即F＝mgsin θ，当偏角很小时，sin θ≈，所以吊灯的回复力为F＝－x(式中x表示吊灯偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，故吊灯做简谐运动．
[要点提炼]
1．单摆
(1)模型：摆线是不行伸长且没有质量的细线，摆球是没有大小只有质量的质点，这样的装置叫单摆，它是实际摆的抱负化模型．
(2)实际摆看作单摆的条件：①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多．②摆球的直径与摆线长度相比小得多．
2．单摆的回复力
(1)摆球的重力沿圆弧切线方向的分力供应单摆的回复力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时，F＝－x.
[延长思考]
1．单摆经过平衡位置时，合外力为零吗？
答案　单摆振动的回复力是重力在轨迹切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在法线方向(摆线方向)的分力供应摆球做圆周运动的向心力．所以并不是合外力完全用来供应回复力的．因此摆球经平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力供应摆球做圆周运动的向心力)．
2．单摆的回复力是否等于摆球的合力？
答案　回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ供应的，不是重力G与摆线拉力FT的合力．
二、单摆做简谐运动的周期
[问题设计]
如图2所示，两个单摆同时释放，我们可以观看到振动的周期不同．影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长，接受什么方法确定周期与这些量的关系？

图2
答案　把握变量法．具体做法为：
(1)只让两摆的振幅不同(都在小偏角状况下)．(2)只让两摆摆球的质量不同．(3)只让两摆的摆长不同．
比较以上三种状况下两摆的周期，可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系．
[要点提炼]
1．伽利略发觉了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并创造了摆钟．
2．单摆的周期
(1)单摆的周期T＝2π，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关(填“有关”或“无关”)．单摆的周期叫固有周期．
(2)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．
(3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长．由于实际的单摆摆球不行能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径．
3．计算单摆的周期有两种方法，一是依据T＝2π，二是依据T＝.第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长．其次种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的精确     性的影响．

一、单摆的回复力
例1　下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是(　　)
A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C．单摆过平衡位置的合外力为零
D．单摆过平衡位置的回复力为零
解析　单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要供应回复力，而且要供应向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确；单摆过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误，D正确．
答案　BD
二、单摆的周期
例2　一个单摆，假如摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的(　　)
A．频率不变，振幅不变
B．频率不变，振幅转变
C．频率转变，振幅不变
D．频率转变，振幅转变
解析　打算单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与摆球质量无关，与单摆的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，所以选项C、D错误．打算振幅的是外来因素，反映在单摆的运动中，可以从能量角度去考虑，在平衡位置(即最低点)时的动能，当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，摆球在最高点的重力势能也不变．但是又因其次次摆球的质量增大了(实际上已经变成另一个摇摆过程了)，势能不变，质量变大了，摇摆的竖直高度就肯定变小了，也就是说，振幅变小了．故正确答案为B.
答案　B
针对训练　已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆长la与lb分别为(　　)
A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m B．la＝0.9 m，lb＝2.5 m
C．la＝2.4 m，lb＝4.0 m D．la＝4.0 m，lb＝2.4 m
答案　B
解析　该题考查的是单摆的周期公式．设两个单摆的周期分别为Ta和Tb，由题意10Ta＝6Tb，得Ta∶Tb＝6∶10.
依据单摆周期公式T＝2π ，可知l＝T2，

由此得la∶lb＝T∶T＝36∶100.则
la＝×1.6 m＝0.9 m，
lb＝×1.6 m＝2.5 m.
例3　如图3所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)

图3
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
解析　A做自由落体运动，到达C点所需时间tA＝ ，R为圆弧轨道的半径．由于圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动，等同于摆长为R的单摆，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝ >tA，所以A球先到达C点．
答案　A

1．(对单摆模型的理解)单摆是为争辩振动而抽象出的抱负化模型，其抱负化条件是(　　)
A．摆线质量不计
B．摆线长度不行伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
答案　ABC
解析　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不行伸缩．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的状况下才能视单摆运动为简谐运动．故正确答案为A、B、C.
2．(单摆的回复力)单摆振动的回复力是　　)
A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力
C．悬线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力
答案　B
解析　单摆振动的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确．
3．(单摆的周期)单摆原来的周期为T，下列哪种状况会使单摆周期发生变化(　　)
A．摆长减为原来的 B．摆球的质量减为原来的
C．振幅减为原来的 D．重力加速度减为原来的
答案　AD
解析　由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关．
4．(单摆的周期)甲、乙两个单摆，甲的摆长为乙的4倍，甲摆的振幅是乙摆的3倍，甲摆球的质量是乙的2倍，那么甲摇摆5次的时间里，乙摇摆________次．
答案　10
解析　单摆的振动周期与振幅和摆球的质量无关，依据公式T＝2π可以推断甲的周期是乙的2倍，甲在摇摆5次的时间内，乙摇摆了10次.