资源描述
学案2 单摆
[学习目标定位] 1.理解单摆模型及其振动的特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.了解影响单摆周期的因素，会用周期公式计算周期和摆长．
1．一个做往复运动的物体，当它所受到的回复力满足F＝－kx，则这个物体做简谐运动．
2．物理学中争辩多个物理量的关系时，常接受把握变量法，即每一次只转变其中的某一个变量，而把握其余几个量不变，从而争辩被转变量对要争辩问题的影响．
一、单摆的简谐运动
1．如图1所示，假如细线的质量与小球相比可以忽视，球的直径与线的长度相比也可以忽视，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的抱负化模型．
图1
2．在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以推断单摆做简谐运动．
二、单摆的周期和摆长的关系
单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，周期公式为T＝2π .
一、单摆的回复力
[问题设计]
一阵风吹过，大厅里的吊灯，微微摇摆起来，久久不停……(模型如图1)，试着用所学学问证明吊灯的往复运动是简谐运动．
答案
吊灯在摇摆过程中的受力如图所示，绳子的拉力F′与重力的分力G2都与吊灯的运动方向垂直，对吊灯运动速度的大小及速度向左还是向右都没有影响，其合力供应了吊灯做圆周运动所需的向心力，而重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ供应了使吊灯振动的回复力，即F＝mgsin θ，当偏角很小时，sin θ≈，所以吊灯的回复力为F＝－x(式中x表示吊灯偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，故吊灯做简谐运动．
[要点提炼]
1．单摆
(1)模型：摆线是不行伸长且没有质量的细线，摆球是没有大小只有质量的质点，这样的装置叫单摆，它是实际摆的抱负化模型．
(2)实际摆看作单摆的条件：①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多．②摆球的直径与摆线长度相比小得多．
2．单摆的回复力
(1)摆球的重力沿圆弧切线方向的分力供应单摆的回复力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时，F＝－x.
[延长思考]
1．单摆经过平衡位置时，合外力为零吗？
答案 单摆振动的回复力是重力在轨迹切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在法线方向(摆线方向)的分力供应摆球做圆周运动的向心力．所以并不是合外力完全用来供应回复力的．因此摆球经平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力供应摆球做圆周运动的向心力)．
2．单摆的回复力是否等于摆球的合力？
答案 回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ供应的，不是重力G与摆线拉力FT的合力．
二、单摆做简谐运动的周期
[问题设计]
如图2所示，两个单摆同时释放，我们可以观看到振动的周期不同．影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长，接受什么方法确定周期与这些量的关系？
图2
答案 把握变量法．具体做法为：
(1)只让两摆的振幅不同(都在小偏角状况下)．(2)只让两摆摆球的质量不同．(3)只让两摆的摆长不同．
比较以上三种状况下两摆的周期，可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系．
[要点提炼]
1．伽利略发觉了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并创造了摆钟．
2．单摆的周期
(1)单摆的周期T＝2π，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关(填“有关”或“无关”)．单摆的周期叫固有周期．
(2)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．
(3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长．由于实际的单摆摆球不行能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径．
3．计算单摆的周期有两种方法，一是依据T＝2π，二是依据T＝.第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长．其次种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的精确 性的影响．
一、单摆的回复力
例1 下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( )
A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C．单摆过平衡位置的合外力为零
D．单摆过平衡位置的回复力为零
解析 单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要供应回复力，而且要供应向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确；单摆过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误，D正确．
答案 BD
二、单摆的周期
例2 一个单摆，假如摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的( )
A．频率不变，振幅不变
B．频率不变，振幅转变
C．频率转变，振幅不变
D．频率转变，振幅转变
解析 打算单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与摆球质量无关，与单摆的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，所以选项C、D错误．打算振幅的是外来因素，反映在单摆的运动中，可以从能量角度去考虑，在平衡位置(即最低点)时的动能，当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，摆球在最高点的重力势能也不变．但是又因其次次摆球的质量增大了(实际上已经变成另一个摇摆过程了)，势能不变，质量变大了，摇摆的竖直高度就肯定变小了，也就是说，振幅变小了．故正确答案为B.
答案 B
针对训练 已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆长la与lb分别为( )
A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m B．la＝0.9 m，lb＝2.5 m
C．la＝2.4 m，lb＝4.0 m D．la＝4.0 m，lb＝2.4 m
答案 B
解析 该题考查的是单摆的周期公式．设两个单摆的周期分别为Ta和Tb，由题意10Ta＝6Tb，得Ta∶Tb＝6∶10.
依据单摆周期公式T＝2π ，可知l＝T2，
由此得la∶lb＝T∶T＝36∶100.则
la＝×1.6 m＝0.9 m，
lb＝×1.6 m＝2.5 m.
例3 如图3所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )
图3
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
解析 A做自由落体运动，到达C点所需时间tA＝ ，R为圆弧轨道的半径．由于圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动，等同于摆长为R的单摆，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝ >tA，所以A球先到达C点．
答案 A
1．(对单摆模型的理解)单摆是为争辩振动而抽象出的抱负化模型，其抱负化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不行伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
答案 ABC
解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不行伸缩．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的状况下才能视单摆运动为简谐运动．故正确答案为A、B、C.
2．(单摆的回复力)单摆振动的回复力是( )
A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力
C．悬线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力
答案 B
解析 单摆振动的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确．
3．(单摆的周期)单摆原来的周期为T，下列哪种状况会使单摆周期发生变化( )
A．摆长减为原来的 B．摆球的质量减为原来的
C．振幅减为原来的 D．重力加速度减为原来的
答案 AD
解析 由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关．
4．(单摆的周期)甲、乙两个单摆，甲的摆长为乙的4倍，甲摆的振幅是乙摆的3倍，甲摆球的质量是乙的2倍，那么甲摇摆5次的时间里，乙摇摆________次．
答案 10
解析 单摆的振动周期与振幅和摆球的质量无关，依据公式T＝2π可以推断甲的周期是乙的2倍，甲在摇摆5次的时间内，乙摇摆了10次.
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