1、嘉兴市第一中学2022学年第一学期期中考试
高三数学（文科） 试题卷
命题：许群燕 审题：沈微微
满分[150]分 时间[120]分钟 2022年11月
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，，则=（ ▲ ）
A． B. C. D.
2.函数的值域是（ ▲ ）
A． B． C． D．
3.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ）
A.若
2、 B.若则
C.若 D. 若
4.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ▲ ）
A． B. C． D.
5. 函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则函数的解析式是 ( ▲ )
A． B．
C． D．
6．关于x的方程有四个不同的解，则实数a的值可能是 ( ▲ )
A．2 B．1 C． D．
7.已知则（ ▲ ）
A. B. C. D.
8.在所在平面上有三点,满足,
,,
3、则的面积与的面积比为（▲）
A. B. C. D.
9．设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ▲ ）
A. B. C. D.
10.若函数，则函数的零点的个数为( ▲ )
A. 4 B. 5 C. 6 D.7
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11. 已知函数=__▲___.
12.已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ▲ .
13.直线截圆所得弦长为__
4、▲______.
14.已知关于的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为▲.
15.已知为正数，且直线与直线相互垂直，则的最小值为_____▲___.
16. 记数列的前和为，若是公差为的等差数列，则为等差数列时,的值为 ▲ ．
17.O为平行四边形所在平面上一点，
,则的值是__▲_.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算。
18.(本小题14分)在中，角所对的边分别为且满足
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
19. (本小题14分)数列的前项和为，
(1) 求数列的通项公
5、式.
(2) 设，求数列的前项和.
20. (本小题14分)已知函数，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
21. (本小题15分)已知正方形的边长为，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．
(1) 当时，求证：；
(2) 当二面角的大小为时，求AB与平面BCD所成角的正弦值．
22．(本小题15分)设动点 到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．
(1) 求点的轨迹方程；
(2) 设圆M过，且圆心M在P的轨迹上，是圆Ｍ在轴上截得的弦，当圆心M运动时弦长是否
6、为定值？说明理由；
(3) 过作相互垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面积的最小值．
（2）由（1）知，于是
，从而即时，
取最大值2
综上所求，的最大值为2，此时
19. . （1）解：
（2）
（1）
（2）
（1）-（2）得，
.
20．解：(1) 当时，，
任取00，即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在上是减函数；
(2)，
当且仅当时等号成立，
当，即时，的最小值为，
当，即时，在上单调递
7、减，
所以当时，取得最小值为，
综上所述：
21. （I）证明：依据题意，在中，，，
所以，所以 ,由于是正方形的对角线，
所以． 由于， 所以
(2)：折叠后在△中，，
在△中，．
所以是二面角的平面角，
即．
在△中，，
过点作的垂线交延长线于点，由于，，且，
所以平面． 由于平面，所以．
又，且，所以平面．连接,
是AB与平面BCD所成角，由于，
所以.
22. 【解析】(Ⅰ) 由题意知，所求动点为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为.
（Ⅱ）由于圆心M在抛物线上，可设圆心，半径，
圆的方程为，
令，得，，所以，所以弦长为定值.
（Ⅲ）设过F的直线方程为，，，
由得，
由韦达定理得，，
所以，
同理.
所以四边形的面积，
即四边形面积的最小值为8.
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