2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第2篇-第7讲-函数的图象.docx

第7讲　函数的图象
[最新考纲]
1．在实际情境中，会依据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．
2．会运用函数图象理解和争辩函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.

知 识 梳 理
1．函数的图象及作法

2．图象变换
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(a＞0且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)y＝
af(x)(a＞0)
②y＝f(x)y＝f(ax)(a＞0)
辨 析 感 悟
1．图象变换问题
(1)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上全部的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．(√)
(2)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(×)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)
(4)函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称．(√)
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×)
2．图象应用问题
(6)(2021·汉中模拟改编)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内有且仅有两个根． (√)
(7)(2021·洛阳调研改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则点P所在的象限为其次象限． (√)

[感悟·提升]
三个防范　一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要留意加、减指的是自变量，如(5)；
二是留意含确定值符号的函数的对称性，如y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象是不同的，如(3)；
三是混淆条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x＋1)＝f(1－x)”的区分，前者告知周期为2，后者告知图象关于直线x＝1对称，如(2).
同学用书第28页

考点一　函数图象的辨识
【例1】 (2021·山东卷)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(　　)．

解析　函数y＝xcos x＋sin x在x＝π时为负，排解A；易知函数为奇函数，图象关于原点对称， 排解B；再比较C，D，不难发觉当x取接近于0的正数时y>0，排解C.
答案　D
规律方法 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，推断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排解不合要求的图象．利用上述方法排解、筛选选项．
【训练1】 (1)(2022·潍坊模拟)函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是(　　)．

(2)函数y＝x＋cos x的大致图象是(　　)．

解析　(1)简洁推断函数y＝xsin x为偶函数，可排解D.当0＜x＜时，y＝xsin x＞0，当x＝π时，y＝0，可排解B，C，故选A.
(2)∵y′＝1－sin x≥0，∴函数y＝x＋cos x为增函数，排解C.又当x＝0时，y＝1，排解A，当x＝时，y＝，排解D，故选B.
答案　(1)A　(2)B
考点二　函数图象的变换
【例2】函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是(　　)．

解析　画出y＝f(x)的图象，再作其关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．
答案　C
规律方法 作图象平移时，要留意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只转变图象的位置，不转变图象的外形．
【训练2】 (2021·江南十校联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(　　)．

解析　当x＞0时，y＝log2(x＋1)，先画出y＝log2x的图象，再将图象向左平移1个单位，最终作出关于y轴对称的图象，得与之相符的图象为B.
答案　B
考点三　函数图象的应用
【例3】 (1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　)．
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
审题路线　(1)画出x∈[－1,1]时，f(x)＝x2的图象⇒依据周期为2画出x∈(1，＋∞)时的函数图象⇒画出函数y＝|lg x|的图象观看图象，得出交点个数．
解析　(1)依据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下

可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；x>10时，|lg x|>1.
因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．
(2)y＝作出图象，如图所示．

此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，
∴1＜a＜.
答案　(1)A　(2)
规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如推断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．
(2)利用图象，可观看函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.
同学用书第29页
【训练3】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．

解　f(x)＝

作出函数图象如图．
(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．
(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m＜1，
∴M＝{m|0＜m＜1}．

1．把握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来挂念我们简化作图过程．
2．识图的要点：重点依据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x、y轴的交点，最高、最低点等)．
3．识图的方法
(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
(3)排解法：利用本身的性能或特殊点进行排解验证．
4．争辩函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；
5．方程解的问题常转化为两生疏的函数图象的交点个数问题来解决．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

思想方法2——利用数形结合思想求参数的范围
【典例】已知不等式x2－loga x＜0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解　由x2－loga x＜0，
得x2＜logax.
设f(x)＝x2，g(x)＝logax.
由题意知，当x∈时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，

如图，可知
即
解得≤a＜1.
∴实数a的取值范围是.
[反思感悟] (1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于精确     作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要留意结合条件去作出符合题意的图形．
(2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【自主体验】
(2022·黄冈调研)设函数f(x)＝x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ .
解析　如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，
∴a≥－1.

答案　[－1，＋∞)
对应同学用书P239
基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2021·青岛一模)函数y＝21－x的大致图象为(　　)．

解析　y＝21－x＝x－1，由于0＜＜1，所以y＝x－1为减函数，取x＝0时，则y＝2，故选A.
答案　A
2．(2021·福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)．

解析　函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又由于f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln 1＝0，综上选A.
答案　A
3．(2022·日照一模)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)．

解析　易知f(x)为偶函数，故只考虑x＞0时f(x)＝lg(x－1)的图象，将函数y＝lg x图象向x轴正方向平移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图象，再依据偶函数性质得到f(x)的图象．
答案　B
4．(2021·东营模拟)已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，
则函数y＝f(x)的解析式可以为(　　)．
A．f(x)＝exln x B．f(x)＝e－xln(|x|)
C．f(x)＝exln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|)
解析　如题图，函数的定义域是{x|x≠0}，排解选项A，当x→－∞时，f(x)→0，排解选项B，D，因此选C.
答案　C
5．已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2 011)·g(－2 012)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是(　　)．

解析　由f(2 011)·g(－2 012)<0，知0案　B
二、填空题
6．函数y＝(x－1)3＋1的图象的对称中心是________．
解析　y＝x3的图象的对称中心是(0,0)，将y＝x3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y＝(x－1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)．
答案　(1,1)
7．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是________．
解析　画出y＝|ax|与y＝x＋a的图象，如图．只需a>1.

答案　(1，＋∞)
8．(2021·长沙模拟)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的范围是________．

解析　当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即f(x)＝a有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.
答案　(0,1]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．

解　(1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．
(2)由图象可以看出，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．
解　(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，
∴g(x)＝x－2＋.
(2)由消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝[－(m＋6)]2－4(4m＋9)，
∵直线y＝m与C2只有一个交点，
∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.
当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2022·济南4月模拟)函数y＝x2＋的图象大致为(　　)．

解析　由于ff(1)＜0，故由零点存在定理可得函数在区间上存在零点，故排解A，D选项，又当x＜0，f(x)＝x2＋，而f＝＋e＞0，排解B，故选C.
答案　C
2．函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为(　　)．

A.
B.
C.
D．{x|－1＜x＜1}
解析　当x∈(0,1)时，cos x>0，f(x)>0；
当x∈时，cos x>0，f(x)<0；
当x∈时，cos x<0，f(x)<0，
当x∈(－1,0)时，cos x＞0，f(x)＞0；
当x∈时cos x＞0，f(x)＜0；
当x∈时，cos x＜0，f(x)＜0.
故不等式<0的解集为
.
答案　C
二、填空题
3．(2021·广州模拟)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是________．

解析　由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图，
记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，
即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，
故kAB＜k＜0，kAB＝＝－，∴－＜k＜0.
答案　
三、解答题
4．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
解　f(x)＝
作出图象如图所示．

原方程变形为
|x2－4x＋3|＝x＋a.
于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
由⇒x2－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.
由图象知当a∈时方程至少有三个不等实根.
同学用书第30页