2020年数学文(广西用)课时作业：第七章-第四节曲线与方程.docx

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课时提升作业(三十六)
一、选择题
1.(2021·长春模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)
(A)x2+y2=2　　　　　 (B)x2+y2=4
(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)
2.(2021·玉林模拟)曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0对称的曲线方程是(　　)
(A)f(y+2,x)=0 (B)f(x-2,y)=0
C)f(y+2,x-2)=0 (D)f(y-2,x+2)=0
3.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是(　　)
(A)圆
(B)椭圆的一部分
(C)双曲线的一部分
(D)抛物线的一部分
4.已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是(　　)
(A)(x-1)2+(y+1)2=9
(B)(x+1)2+(y-1)2=9
(C)(x-1)2+(y-1)2=9
(D)(x+1)2+(y+1)2=9
5设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ,则动点Q的轨迹是(　　)
(A)圆 (B)两条平行直线
(C)抛物线 (D)双曲线
6.已知动点P(x,y),若lg y,lg|x|,lg成等差数列,则点P的轨迹图象是(　　)

7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是(　　)
(A)圆或椭圆或双曲线
(B)两条射线或圆或抛物线
(C)两条射线或圆或椭圆
(D)椭圆或双曲线或抛物线
8.(2021·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-,0),C(,0)(a>0)且
满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是(　　)
(A)-=1(y≠0)
(B)-=1(x≠0)
(C)-=1(x<-)
(D)-=1(x>)
二、填空题
9.平面上有三个点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程是　　　.
10.(2021·南京模拟)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为　　　　　　　.
11.坐标平面上有两个定点A,B和动点P,假如直线PA,PB的斜率之积为定值m,则点P的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.试将正确的序号填在横线上:　　　　　　　　　.
12.(力气挑战题)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为　　　　　.
三、解答题
13.已知圆C:x2+y2=4.
(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,求直线l的方程.
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹方程.
14.(力气挑战题)已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的全部弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.

答案解析
1.【解析】选D.设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2,
所以x2+y2=4(x≠±2).
【误区警示】本题易误选B.错误的根本缘由是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2.
2.【解析】选C.设所求曲线上任意一点为(x,y),
其关于直线x-y-2=0的对称点为(x',y'),则
得
∵点(x',y')在f(x,y)=0上,∴所求曲线为f(y+2,x-2)=0.
3.【解析】选D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,
∴==2.
则P(x,2).
设P(x1,y1),即
消去x得=4ax1(x1≥0,y1≥0),
故点P的轨迹为抛物线的一部分.
4.【解析】选A.由于以AB为直径的圆恰好经过点C(1,-1),∴CA⊥CB,
故△ACB为直角三角形,
又M为斜边AB中点,
∴|MC|=|AB|=3,故点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
5.【思路点拨】设动点P的纵坐标t为参数,来表示|OP|=|OQ|,·=0,并消去参数得轨迹方程,从而确定轨迹.
【解析】选B.设P(1,t),Q(x,y),由题意知|OP|=|OQ|,
∴1+t2=x2+y2,　①
又·=0,∴x+ty=0,
∴t=-,y≠0.　②
把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0,即y=±1.
所以动点Q的轨迹是两条平行直线.
6.【解析】选C.由题意可知2lg|x|=lgy+lg,
∴
⇒
⇒
⇒
7.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,∴轨迹为两条射线;
当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,轨迹为椭圆;
当P与O重合时,圆心轨迹为圆.
【误区警示】本题易因争辩不全,或找错关系而毁灭错误.
8.【解析】选D.∵sinC-sinB=sinA,
由正弦定理得到
|AB|AC|=|BC|=a(定值).
∴A点轨迹是以B,C为焦点的双曲线右支(不包括点(,0)),其中实半轴长为,焦距为|BC|=a.
∴虚半轴长为=a.
∴动点A的轨迹方程为-=1(x>).
9.【解析】=(0,)-(-2,y)=(2,-),
=(x,y)-(0,)=(x,),
∵⊥,∴·=0,
∴(2,-)·(x,)=0,即y2=8x.
∴动点C的轨迹方程为y2=8x.
答案:y2=8x
10.【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),又由于平行四边形的对角线相互平分,所以有可得
又由于N(x0,y0)在圆上,所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).
答案:(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点(-,)和
(-,))
11.【解析】以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),P(x,y),则有·=m,即mx2-y2=a2m,

当m<0且m≠-1时,轨迹为椭圆;当m>0时,轨迹为双曲线;当m=-1时,轨迹为圆;当m=0时,轨迹为始终线;但轨迹不行能是抛物线.
答案:①②④⑤
12.【思路点拨】当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,用参数法求解,然后验证斜率不存在时是否符合要求
【解析】直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,
则l的方程为y=kx+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题设可得点A,B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,
将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,
所以
于是=(+)=(,)
=(,).
设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0③
当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.
答案:4x2+y2-y=0
【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧
参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要留意:
①动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;②参数要与题设的已知量有着亲热的联系;③参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.
13.【解析】(1)①当直线l垂直于x轴时,则此时直线方程为x=1,
l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),其距离为2,满足题意.
②若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
设圆心到此直线的距离为d,则2=2,
得d=1.
∴1=,解得k=,
故所求直线方程为3x-4y+5=0.
综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1.
(2)设点M的坐标为(x0,y0),点Q的坐标为(x,y),则N点坐标是(0,y0),
∵=+,
∴(x,y)=(x0,2y0)即x0=x,y0=.
又∵+=4,∴x2+=4.
由已知,直线m∥x轴,所以y≠0,
∴Q点的轨迹方程是+=1(y≠0).
14.【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
则+=9,=(x-x0,y),=(-x,y0-y).
由2=,得解得
代入+=9,
化简得点M的轨迹方程为+y2=1.
(2)由题意知k≠0,
假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为y=-x+b,
由消去y化简得
(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,
Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)
=-16k2(k2b2-k2-4)>0,
k2b2-k2-4<0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点P(xp,yp),
则x1+x2=,
xp==,
yp=-xp+b=-·+b=,
又yp=k(-1),
∴k(-1)=,得b=,
代入k2b2-k2-4<0,得-(k2+4)<0,
解得k2<5,∴-