【全程复习方略】2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-1)单元质量评估1.docx

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单元质量评估 (一)
第一章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.
2.(2021·浙江高考)若α∈R,则“α=0”是“sinα则“x>0”是“|x|>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由x>0⇒|x|>0,充分,而|x|>0⇒x>0或x<0,不必要.
3.(2022·湖南高考)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为　(　　)
A.∃x0∈R,x02+1>0 B.∃x0∈R,x02+1≤0
C.∃x0∈R,x02+1<0 D.∀x∈R,x2+1≤0
【解题指南】依据“全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,即:若命题p:∀x∈D,qx,则p:∃x0∈D,qx0;若命题p:∃x0∈D,qx0,则p:∀x∈D,qx”求解.
【解析】选B.p:∃x0∈R,x02+1≤0.
4.(2022·成都高二检测)已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件,则(　　)
A.“p∨q”为真 B.“p∧q”为真
C.p真q假 D.p,q均为假
【解析】选A.由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由ac2>bc2能够推出a>b,反之,由于1c2>0,所以由a>b能推出ac2>bc2成立,故命题q是真命题.因此选A.
5.(2022·襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是(　　)
A.圆有内接四边形
B.3>2
C.3<2
D.若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形
【解析】选A.由全称命题的定义可知:“圆有内接四边形”,即为“全部圆都有内接四边形”,是全称命题.
6.命题∃x0∈Q,x03∈Q的否定是(　　)
A.∃x0∉Q,x03∈Q B.∃x0∈Q,x03∉Q
C.∀x∉Q,x3∈Q D.∀x∈Q,x3∉Q
【解析】选D.由特称命题的否定是全称命题可知结果.
7.(2022·江西高考)下列叙述中正确的是　(　　)
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有x02≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α, l⊥β,则α∥β
【解题指南】利用规律用语的学问逐一验证.
【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;
对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x02<0;
对于选项D,垂直于同始终线的两平面平行.所以只有D正确.
8.(2022·烟台高二检测)已知p:α≠β,q:cosα≠cosβ,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题指南】依据原命题与其逆否命题的真假性相同,要推断p是q的什么条件,只需推断q是p的什么条件.
【解析】选B.p:α=β;q:cosα=cosβ,明显p⇒q成立,但qp,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.
9.(2022·海口高二检测)已知命题p:∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题q:∀x∈(0,1),log2x<0,则下列命题为真命题的是(　　)
A.p∧q B.p∨(q)
C.(p)∧q D.p∧(q)
【解析】选C.由指数函数的图象与性质可知,命题p是假命题,由对数函数的图象与性质可知,命题q是真命题,则命题“p∧q”为假命题,命题“p∨(q)”为假命题,命题“(p)∧q”为真命题,命题“p∧(q)”为假命题,故选C.
10.(2022·杭州高二检测)命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5
【解析】选C.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.
【误区警示】本题易毁灭的误区是条件与结论没有区分开,若a是b成立的条件,则a是条件,b是结论,若a成立的条件是b,则结论是a.
11.定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为(　　)
A.0,22 B.0,33
C.0,55 D.0,66
【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.
【解析】选B.由于定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),
得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,
如图,
由于y=loga(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)>f(2)=-2且06;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
【解析】选C.当α=π3,β=-π3时,cosα=cosβ,tanα≠tanβ故pq,同理pq,①不符合;
由f(-x)f(x)=1⇒f(x)=f(-x)⇒f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,②不符合;
由A∩B=A⇔A⊆B⇔B⊆A,③符合;
函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为Δ=m2-4(m+3)>0,
即(m+2)(m-6)>0,解得m<-2或m>6,④符合.
【误区警示】原命题与逆命题都真时,命题的条件与结论互为充要条件,本题易忽视对命题“若p,则q”以及逆命题“若q,则p”的真假的推断而误选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2022·许昌高二检测)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是　____________________.
【解析】逆否命题只需将原命题的条件与结论变换并否定即可.逆否命题为:圆的切线到圆心的距离等于半径.
答案:圆的切线到圆心的距离等于半径
14.(2022·九江高二检测)命题p:∃α0,sinα0>1是　　　　(填“全称命题”或“特称命题”),它是　　　　命题(填“真”或“假”),它的否定p:　　　　　　　　,它是　　　　命题(填“真”或“假”).
【解析】命题p含有存在量词“∃”,故p是特称命题,是假命题,它的否定是全称命题,真命题.
答案:特称命题　假　∀α,sinα≤1　真
152022·兰州高二检测)已知命题p:|x2-x|≠6,q:x∈N,且“p∧q”与“q”都是假命题,则x的值为　　　　.
【解析】由“p∧q”与“q”都是假命题,知p假q真,得|x2-x|=6,x∈N,解得x=3.
答案:3
16.(2021·天津高考)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切.
其中真命题的序号是　　　　.
【解析】命题①由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18,正确;命题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们的标准差也不相等,故该命题错误;命题③圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=12=22,与圆x2+y2=12的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确.
答案:①③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2022·长沙高二检测)(1)写出命题:“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆命题、否命题和逆否命题,并推断它们的真假.
(2)已知集合P={x|-1命题:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,是真命题;
否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2,是真命题;
逆否命题:若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0,是真命题.
(2)由于S={x|x2+(a+1)x+a<0}={x|(x+1)(x+a)<0},P={x|-10},x+1x≥2.
(3)∃x0∈{xx∈Z},log2x0>2.
【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(2)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.
(3)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
19.(12分)求关于x的方程ax2+22x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.
【解析】方程ax2+22x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是:方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根,或有一负一零根,设两根为x1,x2,则
a=0或Δ=(22)2-4a(a+1)>0,x1x2=a+1a<0
或Δ=(22)2-4a(a+1)≥0,x1+x2=-22a<0,x1x2=a+1a>0
或Δ=(22)2-4a(a+1)>0,x1+x2=-22a<0,x1x2=a+1a=0,
即a=0或a2+a-2<0,-10,a<-1或a>0
或a2+a-2<0,a>0,a=-1,
即a=0或-20,a<-1或a>0,
a=0或-1题,解题时通常要对问题进行分类争辩.分类争辩时要清楚全面,做到不重复、不遗漏,分类争辩后,要进行概括性的整合总结.
20.(12分)(2022·宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q: ∀x∈R,x2+mx+1≥0.
(1)写出命题q的否定“q”.
(2)假如“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.
【解析】(1)q:∃x0∈R,x02+mx0+1<0.
(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则Δ=4m2-4m<0,解得0≤m≤2.
由于“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q两命题应一真一假,即p真q假或p假q真.
则02或m<-2,或m≤0或m≥1,-2≤m≤2,
解得-2≤m≤0或1≤m≤2.
【拓展延长】完善解决参数问题
通过已知条件,探究命题的真假,然后求解参数的取值范围,是规律用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:
(1)娴熟把握真值表,推断单个命题p,q的真假.
(2)具备丰富的基础学问储备,求解单个命题成立的参数范围.
(3)挂念应用集合的运算确定参数的最终范围.
21.(12分)已知条件p:|5x-1|>a(a>0)和条件q:12x2-3x+1>0,请选取适当的实数a的值,分别利用所给的两个条件作为A,B构造命题:“若A则B”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
【解析】已知条件p即5x-1<-a,或5x-1>a,
所以x<1-a5,或x>1+a5,
已知条件q即2x2-3x+1>0,
所以x<12,或x>1;
令a=4,则p即x<-35,或x>1,此时必有p⇒q成立,反之不然.
故可以选取的一个实数是a=4,A为p,B为q,对应的命题是若p则q,
由以上过程可知这一命题为真命题,但它的逆命题为假命题.
22.(12分)已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)与h(x)的解析式.
(2)命题p:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题q:函数g(x)是减函数.假如命题p,q有且只有一个是真命题,求a的取值范围.
【解析】(1)由于f(x)=g(x)+h(x)　①,
g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x),
所以f(-x)=-g(x)+h(x)　②,
(①-②)÷2得g(x)=(a+1)x,
(①+②)÷2得h(x)=x2+lg|a+2|.
(2)由于函数f(x)x2+(a+1)x+lg|a+2|在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数,所以(a+1)2≥-a+12,
解得a≥-1或a≤-32且a≠-2.
又由函数g(x)=(a+1)x是减函数,
得a<-1且a≠-2.
所以命题p为真的条件是:
a≥-1或a≤-32且a≠-2;
命题p为假的条件是:-32