【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第四期)F单元-平面向量.docx

F单元　平面对量
名目
F单元　平面对量 1
F1　平面对量的概念及其线性运算 1
F2　平面对量基本定理及向量坐标运算 1
F3　平面对量的数量积及应用 3
F4 单元综合 9

F1　平面对量的概念及其线性运算

【数学理卷·2021届重庆市巴蜀中学高三12月月考（202212）】2．设向量满足，则（）
A.1 B.2 C.3 D.5
【学问点】向量的模与与向量数量积的关系. F1 F3
【答案】【解析】A解析：由于，所以
两式相减得:
44，所以1，故选A.
【思路点拨】将向量的模平方，转化为向量数量积运算，再相减得结论.

F2　平面对量基本定理及向量坐标运算

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三12月调研考试（202212）】3．设向量，则下列结论中正确的是( )
A．B．C．D．
【学问点】平面对量基本定理及向量坐标运算F2
【答案】D
【解析】∵，∴不正确，即A错误
∵，故B错误；∵=(1，0)，=(，)，易得不成立，故C错误．
∵则与垂直，故D正确；
【思路点拨】本题考查的学问点是向量的模，及用数量积推断两个平面对量的垂直关系，由
，我们易求出向量的模，结合平面对量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行推断，即可得到答案．

【数学文卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）】6.设向量，其中，若，则=（）
A. B. C. D.
【学问点】向量数量积的坐标运算；已知三角函数值求角. F2 F3 C7
【答案】【解析】D解析：由于，
所以，又由于
，
所以
由于，所以=，故选D.
【思路点拨】利用向量的模与向量数量积的关系，转化为数量积运算，从而得
，再由得结论.

【数学文卷·2021届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（202212）】7.已知函数的部分图象如图所示，则

【学问点】向量在几何中的应用．C5 F2
【答案】【解析】6解析：由于=0⇒ ⇒，由图得；故，由=1⇒⇒，由图得，故，
所以=（5，1），=（1，1）．
∴=5×1+1×1=6．
【思路点拨】先利用正切函数求出A，B两点的坐标，进而求出与的坐标，再代入平面对量数量积的运算公式即可求解．

F3　平面对量的数量积及应用

【数学理卷·2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三12月月考（期中）（202212）】14.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案】
【解析】∵||＝||＝2∴||2=||2=4
∵(＋2)·(－)＝－2开放得：||2+•-2||2=4cosθ-4=-2，
即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=
【思路点拨】由已知中|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，可求出cosθ=，进而依据向量夹角的范围为0≤θ≤π，得到答案．

【数学理卷·2021届重庆市巴蜀中学高三12月月考（202212）】2．设向量满足，则（）
A.1 B.2 C.3 D.5
【学问点】向量的模与与向量数量积的关系. F1 F3
【答案】【解析】A解析：由于，所以
两式相减得:
44，所以1，故选A.
【思路点拨】将向量的模平方，转化为向量数量积运算，再相减得结论.

【数学理卷·2021届江苏省扬州中学高三上学期质量检测（12月）（202212）】11.在边长为1的正中，向量，且则的最大值为________.
【学问点】平面对量的综合应用．F3
【答案】【解析】解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

则点，，；
设点，，∵
∴，∴；
∵∴，∴，；
∴=
=
=，
当且仅当时取“=”；故答案为：．
【思路点拨】建立平面直角坐标系，确定A，B，C的坐标，设点D，E坐标，由得；由得；计算的值即可．

【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】12．若非零向量，满足
则　　　．
【学问点】向量的模，向量垂直的充要条件F3
【答案】【解析】2
解析：由得，由得，解得.
【思路点拨】由向量的模的关系寻求向量的关系，通常利用性质：向量的模的平方等于向量的平方进行转化.

【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】10.已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（ ）
A. B.3 C. 4 D.
【学问点】向量的数量积F3
【答案】【解析】B
解析：，而，，，
又，即，
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，，
，，
在直角三角形BIH中，，所以,所以选B
.
【思路点拨】理解向量是与向量共线同向的单位向量即可确定I的位置，再利用向量的减法及数量积计算公式进行转化求解.
第Ⅱ卷

【数学文卷·2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三12月月考（期中）（202212）】3.已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量，，则与的夹角是(　　)
A． 锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案】A
【解析∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角，∴A+B＞，即 A＞-B＞0，
∴sinA＞sin（-B）=cosB，∴•=sinA-cosB＞0．再依据、的坐标可得，、不共线，故与的夹角为锐角，
【思路点拨】利用锐角三角形的性质可得 A+B＞，求得• =sinA-cosB＞0．再依据
、不共线，可得与的夹角为锐角．

【数学文卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）】6.设向量，其中，若，则=（）
A. B. C. D.
【学问点】向量数量积的坐标运算；已知三角函数值求角. F2 F3 C7
【答案】【解析】D解析：由于，
所以，又由于
，
所以
由于，所以=，故选D.
【思路点拨】利用向量的模与向量数量积的关系，转化为数量积运算，从而得
，再由得结论.

【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三12月月考（202212）】14．过点作圆的弦，
其中弦长为整数的共有条。
【学问点】圆的方程H3
【答案】【解析】32
解析：由题意可知过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有2+2×(26－10－1)=32.
【思路点拨】可先求出弦长的范围，弦与点A与圆心连线垂直时弦长最短，弦过圆心时弦长为圆的直径，此时长度最大，取得最值的两个位置只有一条，中间的整数值都有两条.
15.已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为
【学问点】向量的数量积F3
【答案】【解析】3
解析：，而，，，
又，即，
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，，
，，
在直角三角形BIH中，，所以,所以选B
.
【思路点拨】理解向量是与向量共线同向的单位向量即可确定I的位置，再利用向量的减法及数量积计算公式进行转化求解.

F4 单元综合