3、PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．
∴P应在椭圆短轴的端点，∴P(0,3)或(0，－3)．
答案 C
6．已知△ABC周长为18，|AB|＝8且A(－4,0)，B(4,0)，三边|CA|＜|AB|＜|CB|，则C点的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0，x＜0)
D.＋＝1(y≠0，x＜0)
解析 ∵|CA|＋|CB|＋|AB|＝18，|AB|＝8，
∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，
∴动点C的轨迹是椭圆，且2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝9，∴椭圆方
4、程为＋＝1，又|CA|<|AB|<|CB|，∴x<0，且y≠0，故选C.
答案 C
7．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
解析 把椭圆5x2＋ky2＝5化为标准形式得，x2＋＝1，又一个焦点为(0,2)，
∴焦点在y轴上，且c＝2，∴⇒∴k＝1.
答案 1
8．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝__________.
解析 如下图，由椭圆的定义知
|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，
|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，
∴|AB|＝20－|F2A|－
5、F2B|＝20－12＝8.
答案 8
9．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
解析 如图，
设|MF2|＝2，则|MF1|＝2a－|MF2|＝10－2＝8.
∴|ON|＝|MF1|＝4.
答案 4
10．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标．
解 椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又A(1，)在椭圆C上，
即＋＝1，解得b2
6、＝3.
即c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F(±1,0)．
11．已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝
6||，求动点P的轨迹方程．
解 设动点P(x，y)，＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(x－1，y)，由·＝6||，得－3(x－4)＝6，平方化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
12．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解 (1)∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标F1(－6,0)
7、F2(6,0)，∴可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．
将点的坐标代入并整理，得
4a4－463a2＋6300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)∵P为椭圆C上任一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.
由(1)知c＝6.
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosF1PF2，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|
＝202－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝.
故△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|sin＝××＝.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
