1、
2.2 空间向量的运算
一、教学目标：
1．理解共线向量定理和共面对量定理及它们的推论；
2．把握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
二、教学重、难点：
共线、共面定理及其应用．
三、教学方法：
探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习：
1．空间向量的概念及表示；
2、加减与数乘向量及运算律。
（二）新课探析
1．共线（平行）向量：
假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：假如为经
2、过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，假如直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面对量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面对量定理：
假如两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，
3、有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试推断：点与是否确定共面？
解：由题意：，∴，
∴，即，所以，点与共面．
说明：在用共面对量定理及其推论的充要条件进行向量共面推断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对比形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
4、∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴ 所以，平面平面．
（四）、课堂练习：
课本第31页练习第2、3、4题．
（五）、课堂小结：
1．共线向量定理和共面对量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
（六）、作业
1．已知两个非零向量不共线，假如，，，求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
五、教后反思：
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
