福建省永安市2021届高三质检试卷数学(文)-Word版含答案.docx

2021年永安市一般高中毕业班质量检查
文　科　数　学
　　　本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
留意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内
　 作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3． 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标记；
　 非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔
迹清楚．
4． 保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据，…，的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中为底面面积，为高 其中为球的半径

第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若i为虚数单位，则复数等于( )
(A) (B) (C) (D)
2．已知命题：，，则为( )
　(A)， (B),
　(C), (D)，
3．设集合， ，则等于( )
(A) (B) (C) (D)
4．已知直线:和直线：，则“”是“”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
5．将图象向右平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
6．如右图，在中，已知，则等于( )
(A) (B)
(C) (D)
7．执行右边的程序框图，则输出的结果是( )
(A) (B) (C) (D)
8．设，，为不同的直线，，为不同的平面，则正确的是( ) 　　　　
　(A)若，，则
(B)若，，则
　(C)若，，则
(D)若，且，则
9．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交于A、B两点，若的周长为12，则的方程为( )
(A) (B) (C) (D)
10．函数的图象大致是( )

11．已知函数，若从区间中任取的一个数，从区间中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
　(A) (B) (C) (D)
12．对于函数（），若存在常数，对于任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的算术平均数为．已知函数
　，，则在上的算术平均数为( )
(A) (B) (C) (D)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．
13．为了了解某市高三同学的身体发育状况，抽测了该市50名高三男生的体重（），数据得到的频率分布直方图如右图．依据右图可知这50名男生中体重在 的人数是 ．
14． 若函数是奇函数，则实数 ．
15．在钝角中，且，则= ．
16．已知甲、乙、丙、丁四位同学，在某个时段内每人互不重复地从语文、数学、英语、文综这四个科目中选择一科进行复习．现有下面五种均为正确的说法：
A．甲不在复习语文 ，也不在复习数学；B．乙不在复习英语 ，也不在复习语文；
C．丙不在复习文综 ，也不在复习英语；D．丁不在复习数学 ，也不在复习语文；
E．假如甲不在复习英语，那么丙不在复习语文．
依据以上信息，某同学推断如下：
①甲在复习英语 ②乙在复习文综 ③丙在复习数学 ④丁在复习英语
　 则上述全部推断正确的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
　　已知数列为等差数列，，且．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若点在函数的图像上，求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）
　　下列两图（图中点与年份对应）分别表示的是某市从2003年到2021年的人均生活用水量和常住人口的状况：

（Ⅰ）若从2003年到2021年中随机选择连续的三年进行观看，求所选的这三年的人均用水量恰好依次递减的概率；
　（Ⅱ）由图推断，从哪年开头连续四年的常住人口的方差最大？并结合两幅图表推断该市在2022年到2021年这四年间的总生活用水量的增减状况．（结论不要求证明）
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）

如图， 是单位圆与轴正半轴的交点，点、在单位圆上，设，，且．

（Ⅰ）记四边形的面积为，当时，
求的最大值及此时的值；
（Ⅱ）若，，且∥，
求证：．

21．（本小题满分12分）
设抛物线：的准线被圆：所截得的弦长为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点是抛物线的焦点，为抛物线上的一动点，过作抛物线的切线交圆于、两点，求面积的最大值.

22．（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在上单调递减？ 若存在，
求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当时，争辩函数零点的个数．

2021年永安市一般高中毕业班质量检查
文科数学试题参考答案及评分标准
一、 选择题
1. D 2. D 3．C 4．B 5．D 6．A 7.B 8. D 9.D 10．A 11.C 12.B
二、填空题
13.8 14.1 15. 16.①
三、解答题
17.解：（Ⅰ）法一：设的公差为，则，
解得， ………………4分
所以 ………………6分
　　　法二：由得 ………………2分
又
　　　　所以的公差为＝＝２ ………………4分
　　　　所以 ………………6分
（Ⅱ）由点在函数的图像上得
　 所以 ，
　所以是以27为首项，以9为公比的等比数列………………10分
所以
………………12分
18. 解：（Ⅰ）在13年中共有11个连续的三年………………3分
其中只有2007至2009和2010至2022两个连续三年的
人均用水量符合依次递减………………6分
所以随机选择连续的三年进行观看，
所选的这三年的人均用水量恰是依次递减的概率为 ………………8分
（Ⅱ）2009至2022连续四年的常住人口的方差最大………………10分
2022至2021四年间的总生活用水量是递增的．………………12分
19.解：：（Ⅰ）由于平面，所以，
又，所以平面，所以．………3分
由三视图可得，
在中，，为中点，
所以，
所以平面………………6分
（Ⅱ）由三视图可得，由⑴知，平面………………9分
又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
所以，所求三棱锥的体积………………12分
20. 解:（Ⅰ）由已知
，∴ ………………3分
又
∴
故的最大值是，此时………………6分
（Ⅱ）∵，∥，
∴………………9分
又，，
∴………………12分
21. 解:（Ⅰ）由于抛物线的准线方程为，
且直线被圆：所截得的弦长为，
所以，解得，
因此抛物线的方程为………………4分
（Ⅱ）设N（），由于知直线的方程为：.
即………………6分
由于圆心到直线的距离为，
所以||=………………7分
设点到直线的距离为，则………………8分
所以，的面积
S
………………11分
当时取到“=”，经检验此时直线与圆相交，满足题意.
综上可知，的面积的最大值为………………12分

22．解:（Ⅰ）当时，，，
所以，．
所以切线方程为． ……………………3分
（Ⅱ）存在.
由于在上单调递减，
等价于在恒成立……………………5分
变形得 恒成立……………………6分
而
（当且仅当，即时，等号成立）．
所以． ……………………8分
（Ⅲ）．
令，得……………………9分

↘
微小值
↗
所以=……………………10分
（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当时，，
① 由于，所以在增区间内有唯一零点；
② ，
设，则，
由于，所以，即在上单调递增，
所以，即，
所以在减区间内有唯一的零点．
所以时在定义域内有两个零点．
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；
当时，在定义域内有两个零点．……………………14分
（若用其他方法解题，请酌情给分）