2021高考数学(文理通用)一轮课时作业39-直线的倾斜角与斜率、直线的方程.docx

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课时提升作业(三十九)
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.直线经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是(　　)
A.45°　　　B.135°　　　C.45°或135°　　　D.0°
【解析】选A.由于经过原点和点(-1,-1)的直线的斜率k=0+10+1=1,所以直线的倾斜角为45°.
2.(2022·台州模拟)已知点A(m-1,m+1)与点B(m,m)关于直线l对称,则直线l的方程是(　　)
A.x+y-1=0 B.x-y+1=0
C.x+y+1=0 D.x-y-1=0
【解析】选B.依题意直线l与AB垂直,且过AB的中点,所以kl=1,且过点2m-12,2m+12,直线方程为y-2m+12=x-2m-12,
即x-y+1=0.
3.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是(　　)
A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0
【解析】选D.由题意得直线2x-y-2=0与y轴交点为A(0,-2),所求直线过A且斜率为-12,故所求直线方程为y+2=-12(x-0),即x2y+4=0.
4.(2021·石家庄模拟)已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0相互垂直,则ab的最小值等于(　　)
A.1 B.2 C.22 D.23
【思路点拨】先由两直线垂直可得到关于a,b的一个等式,再将ab用一个字母来表示,进而求出最值.
【解析】选B.由于直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0相互垂直,
所以(b2+1)-b2a=0,即a=b2+1b2,
所以ab=(b2+1b2)b=b2+1b=b+1b≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab的最小值等于2.
5.(2022·杭州模拟)“m=12”是“直线m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的(　　)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由于m=12时,两直线方程分别为:52x+32y+1=0,-32x+52y-3=0,其斜率分别为:-53与35,因此,两直线垂直.又由于直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直,所以(m+2)·(m-2)+3m(m+2)=0,解得:m=12或m=-2.因此,“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分不必要条件.
6.已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则(　　)
A.α确定是直线l的倾斜角
B.α确定不是直线l的倾斜角
C.α不愿定是直线l的倾斜角
D.180°-α确定是直线l的倾斜角
【解析】选C.设θ为直线l的倾斜角,
则tanθ=tanα+1-1m+1-m=tanα,
所以α=kπ+θ,k∈Z,当k≠0时,θ≠α,故选C.
【加固训练】
直线xcos 140°+ysin 140°=0的倾斜角是(　　)
A.40° B.50° C.130° D.140°
【解析】选B.由于直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-cos140°sin140°=-cos(180°-40°)sin(180°-40°)=--cos40°sin40°
=cos40°sin40°=sin50°cos50°=tan 50°,
所以直线xcos 140°+ysin 140°=0的倾斜角为50°.
7.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是(　　)
A.-∞,-52∪43,+∞
B.-43,52
C.-∞,-43∪52,+∞
D.-52,43
【解析】选B.直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为
-a,由于kMA=3-(-2)-2-0
=-52,
kMB2-(-2)3-0=43,由图可知:
-a>-52且-a<43,
所以a∈-43,52.
8.(2022·嘉兴模拟)若P(2,-1)为圆M:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为(　　)
A.2x+y-3=0 B.x-y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
【解析】选B.圆心M为(1,0),依题意知MP⊥AB,而kMP=-11=-1,
所以kAB=1,过点P(2,-1),
所以AB的方程为:y-(-1)=x-2,
即x-y-3=0.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·金华模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为　　　　.
【解析】设所求直线l的方程为xa+yb=1,
由已知可得-2a+2b=1,12|a||b|=1,
解得a=-1,b=-2,或a=2,b=1.
所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.
答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0
【误区警示】解答本题时易误以为直线在两坐标轴上的截距均为正而致误,根本缘由是误将截距当成距离而造成的.
10.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α不是钝角,则实数a的取值范围是　　　　　.
【思路点拨】可先求出倾斜角α为钝角时,实数a的范围,其补集应为不是钝角时的范围.
解析】由题知过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的斜率k=1+a-2a1-a-3=1-a-a-2=a-1a+2,
若直线的倾斜角α为钝角,
则k=a-1a+2<0,解得-20,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　.
【解析】依据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1.又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,
所以-2(a+b)=ab.
又ab>0,故a<0,b<0,依据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab.又ab>0,得ab≥4,
故ab≥16,即ab的最小值为16.
答案:16
【方法技巧】争辩三点共线的常用方法
方程法:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程.
斜率法:过其中一点与另外两点连线的斜率相等.
距离法:以其中一点为公共点,与另外两点连成的有向线段所表示的向量共线.
【一题多解】
斜率法:由于A,B,C三点共线,所以kAB= kAC,
即b-00-a=-2-0-2-a,
所以1a+1b=-12,以下同题目解析.
距离法:由题意得a<0,b<0,
且|AC|+|CB|=|AB|,
所以(a+2)2+22+22+(b+2)2=a2+b2,
解得2a+2b+ab=0,以下同题目解析.
12.(力气挑战题)设集合A=(x,y)y-3x-1=2,B={(x,y)|4x+ay-16=0},若A∩B=∅,则a的值为　　　　　.
【解析】明显集合A表示直线2x-y+1=0(除去点(1,3)),集合B表示直线4x+ay-16=0,由于A∩B=∅,所以两直线平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),因此a=-2或a=4.
答案:-2或4
【误区警示】本题易毁灭漏解的错误,错误缘由是对集合A生疏不正确,误认为是一条直线.
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标.
(2)直线MN的方程.
【解析】(1)设点C的坐标为(x,y),则有x+52=0,3+y2=0,
所以x=-5,y=-3,即点C的坐标为(-5,-3).
(2)由题意知,M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为x-y52=1,即5x-2y-5=0.
14.已知实数x,y满足y=-2x+8,当2≤x≤3时,求yx的最大值和最小值.
【解析】yx=y-0x-0其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率.
点(x,y)满足y=-2x+8,且2≤x≤3,则点(x,y)在线段AB上,并且A,B两点的坐标分别为A(2,4),
B(3,2),如图所示.则kOA=2,kOB=23.
所以得yx的最大值为2,最小值为23.
【加固训练】
已知两点A(-1,2),B(m,3).
(1)求直线AB的方程.
(2)已知实数m∈-33-1,3-1,求直线AB的倾斜角α的取值范围.
【解析】(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,
当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=1m+1(x+1).
(2)①当m=-1时,α=π2;
②当m≠-1时,m+1∈-33,0∪(0,3],
所以k=1m+1∈(-∞,-3]∪33,+∞,
所以α∈π6,π2∪π2,2π3.
综合①②知,直线AB的倾斜角α的取值范围为π6,23π.
15.(力气挑战题)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=12x上时,求直线AB的方程.

【解析】由题意可得kOA=tan45°=1,
kOB=tan(180°-30°)=-33,
所以直线lOA:y=x,lOB:y=-33x,
设A(m,m),B(-3n,n),
所以AB的中点Cm-3n2,m+n2,
由点C在y=12x上,且A,P,B三点共线得m+n2=12·m-3n2,m-0m-1=n-0-3n-1,
解得m=3,所以A(3,3).
又P(1,0),
所以kAB=kAP=33-1=3+32,
所以lAB:y=3+32(x-1),
即直线AB的方程为(3+3)x-2y-3-3=0.
【加固训练】
已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点.
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1)方法一:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).
方法二:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,
故直线l总过定点(-2,1).
(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1,
则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,则k≥0,1+2k≥0,
解得k的取值范围是k≥0.
(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,
所以A-1+2kk,0,B(0,1+2k),
故S=12|OA||OB|=12×1+2kk(1+2k)=124k+1k+4≥12(4+4)=4.当且仅当4k=1k,即k=12时,取等号,
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
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