2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业-2.1.1曲线与方程.docx

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课时提升作业(九)
曲线与方程

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也确定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.
2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是　(　　)
A.y2=x与y=x
B.y=lgx2与y=2lgx
C.y+1x-2=1与lg(y+1)=lg(x-2)
D.x2+y2=1与|y|=1-x2
【解析】选D.主要考虑x,y的取值范围,A中y2=x中y∈R,而y=x中y≥0,B中y=lgx2中x≠0,而y=2lgx中x>0;C中y+1x-2=1中y∈R,x≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D正确.
3.(2022·石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线外形是　(　　)

【解析】选C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在其次、四象限的部分.
4.(2022·安阳高二检测)曲线y=1-x2和y=-x+2公共点的个数为　(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0
【解析】选C.由y=1-x2,y=-x+2,得-x+2=1-x2,
两边平方并整理得(2x-1)2=0,所以x=22,这时y=22,故公共点只有一个22,22.
【误区警示】解题中易忽视y=1-x2中x的取值范围,而写成x2+y2=1,从而解出两组解而导致出错.
5.假如曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有(　　)
A.方程F(x,y)=0表示的曲线是C
B.曲线C的方程是F(x,y)=0
C.点集{P|P∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}
D.点集{P|P∈C}{(x, y)|F(x,y)=0}
【解析】选C.A,B错,由于以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不愿定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.
6.(2022·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是　(　　)
A.两条直线 B.一条直线和一双曲线
C.两个点 D.圆
【解析】选C.由题意,x-y=0,xy=1,
所以x=1,y=1或x=-1,y=-1,
所以方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=　　　　.
【解析】将(2,-3)代入x2-ay2=1,得a=13.
答案:13
【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=　　　　.
【解析】由于点A(a,2)在直线x-y=0上,
得a=2,即A(2,2).
又点A在曲线y=mx2上,所以2=m·22,得m=12.
答案:12
8.(2022·重庆高二检测)假如直线l:x+yb=0与曲线C:y=1-x2有公共点,那么b的取值范围是　　　　.
【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=1-x2的图象,利用数形结合解题.
【解析】曲线C:y=1-x2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(±1,0)),如图,当l与l1重合时,b=-1,当l与l2重合时,b=2,

所以直线l与曲线C有公共点时,-1≤b≤2.
答案:[-1,2]
9.方程y=x2-4x+4所表示的曲线是　　　　　.
【解析】原方程可化为:y=|x-2|=x-2,x≥2,-x+2,x<2.
所以方程表示的是射线x-y-2=0(x≥2)及x+y-2=0(x<2)
答案:两条射线
【误区警示】本题易忽视方程自身的条件对y的约束,即y≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.方程1-|x|=1-y表示的曲线是什么图形?
【解析】原方程可化为1-y=1-|x|,1-|x|≥0,即y=|x|,|x|≤1,
所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x≤0)和y=x(0≤x≤1).如图:

11.曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的范围,若有一个交点、无交点呢?
【解析】由y=k(x-2)+4,x2+(y-1)2=4,
得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,
Δ=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]
=48k-20.
所以Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点;
Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点;
Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点.
【拓展延长】曲线与直线交点个数的判别方法
　　曲线与直线交点的个数就是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行推断.本题是推断直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k的范围.有些题目,在推断交点个数时,也可用数形结合法.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知曲线ax2+by2=2经过点A(0,2)和B(1,1),则a,b的值分别为　(　　)
A.12,32 B.32,12
C.-32,32 D.12,-32
【解析】选B.由于点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax2+by2=2上,所以a·0+4b=2,a+b=2,解得a=32,b=12.
2.(2022·临沂高二检测)方程x2|x|+y2|y|=1表示的图形是　(　　)
A.一条直线
B.两条平行线段
C.一个正方形
D.一个正方形(除去四个顶点)
【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x≠0,y≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两端点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).
3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1)　(　　)
A.不在圆C上,但在直线l上
B.在圆C上,但不在直线l上
C.既在圆C上,也在直线l上
D.既不在圆C上,也不在直线l上
【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标分别代入圆C及直线l的方程,均满足.
4.(2022·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则a的取值范围是　(　　)
A.a>1 B.01 D.a∈
【解题指南】分别作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依据图象求a的取值范围.
【解析】选A.由于a>0,所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大,所以a>1.

【变式训练】如图所示,定圆半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在　(　　)

A.第一象限 　　　B.其次象限
C.第三象限 　　　D.第四象限
【解析】选C.由ax+by+c=0,x-y+1=0,所以x=-b+ca+b,y=a-ca+b.
由于a+b<0,a-c>0,b+c<0,
所以x<0,y<0,
所以交点在第三象限,选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是　　　　　.
【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;
当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.
故原方程表示两条共顶点的射线,易得顶点为B(2,-2),与x轴的交点为O(0,0),A(4,0),所以曲线y=|x-2|-2与x轴围成的三角形面积为S△AOB= 12|OA|·|yB|=4.

答案:4
6.(2022·石家庄高二检测)曲线y=-1-x2与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数为　　　　.
【解析】由y=-1-x2,y+|ax|=0,
得-|ax|=-1-x2,即a2x2=1-x2,
所以(a2+1)x2=1,
解得x=1a2+1和x=-1a2+1,
代入y=-|ax|,得y=-a21+a2,
所以它们有2个交点.
答案:2
【一题多解】由y=-1-x2,得x2+y2=1(y≤0)表示半圆如图:

由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.
所以由图象可知,它们有两个交点.
答案:2
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知点P(x0,y0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.
【证明】由于P是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,
所以P在曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0,
P在曲线g(x,y)=0上,即g(x0,y0)=0,
所以f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ0=0,
故点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.
【拓展延长】证明曲线与方程关系的技巧
　　解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原则,即若点的坐标适合方程,则该点必在方程的曲线上;若点在曲线上,则该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依据定义需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不行.
8.当曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k的取值范围.
【解析】曲线y=1+4-x2是以(0,1)为圆心, 2为半径的半圆,如图.

直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.
设切线PC的斜率为k0,切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.
圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2,
即|-1-2k0+4|1+k02=2,
所以k0=512,直线PA的斜率k1=34,
所以实数k的取值范围是512