2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第二章-第十节导数与导数的运算.docx

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课时提升作业(十三)
一、选择题
1.函数y=x5·ax(a>0且a≠1)的导数是(　　)
(A)y′=5x4·axlna
(B)y′=5x4·ax+x5·axlna
(C)y′=5x4·ax+x5·ax
(D)y′=5x4·ax+x5·axlogax
2.(2021·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=(　　)
(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8
3.(2021·宝鸡模拟)若函数f(x)=excosx,则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
(A)0 (B)锐角 (C)直角 (D)钝角
4.(2021·赣州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且=-2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是(　　)
(A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2
(C)y=4x+2 (D)y=-x+2
5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图像,则f(-1)为(　　)

(A)2 (B)- (C)3 (D)-
6.(2021·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于(　　)
(A)-1或- (B)-1或
(C)-或- (D)-或7
二、填空题
7.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)
=　　　　.
8.(2021·宜春模拟)若过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为　　　　,切线的斜率为　　　　.
9.(力气挑战题)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
10.求下列各函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).
(2)y=.
(3)y=.

11.(2021·宿州模拟)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式.
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
12.(力气挑战题)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线相互垂直.
(1)求a,b之间的关系.
(2)求ab的最大值.

答案解析
1.【解析】选B.y′=(x5)′·ax+x5·(ax)′=5x4ax+x5·axlna.
2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.
3.【解析】选D.由已知得:
f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),
∴f′(1)=e(cos1-sin1).
∵>1>,
而由正、余弦函数性质可得cos 1x)在(1,f(1))处的切线的斜率k<0,
∴切线的倾斜角是钝角.
4.【解析】选B.由于f(x)的周期为2,所以f(0)=f(2)=2.
由=-2得=-2,即f′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2.
5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),
∴导函数f′(x)的图像开口向上.
又∵a≠0,∴其图像必为(3).
由图像特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,
∴a=-1,故f(-1)=-.
6.【思路点拨】先设出切点坐标,再依据导数的几何意义写出切线方程,最终由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.
【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),
即y=3x-2.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得
Δ=()2-4a(-9)=0,
解得a=-,
同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.
【方法技巧】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
7.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得
f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.
答案:6
8.【解析】y′=ex,设切点坐标为(x0,y0),则=,即=,∴x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.
答案:(1,e)　e
9.【思路点拨】求出导函数,依据导函数有零点,求a的取值范围.
【解析】由题意可知f′(x)=3ax2+,又由于存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+=0⇒a=(x>0)⇒a∈(-∞,0).
答案:(-∞,0)
10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.
(2)∵y=+=,
∴y′=()′==.

(3)∵y==cosx-sinx,
∴y′=-sinx-cosx.
11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
当x=2时,y=.又f′(x)=a+,
于是解得故f(x)=x-.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-).
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为S=|-||2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
(2)假如曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3+1,
∴直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又∵直线l过点(0,0),
∴0=(3+1)(-x0)++x0-16,
整理得,=-8,∴x02,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13,
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则k==.
又∵k=f′(x0)=3+1,
∴=3+1,解得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13,
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,
∴x0=±1,
∴或∴切点坐标为(114)或(-1,-18),
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
12.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,
对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两条切线相互垂直,
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4-2(a+2)x0+2a-1=0.　①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
∴2-(a+2)x0+2-b=0.　　②
由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=-a.
(2)由(1)知:b=-a,
∴ab=a(-a)=-(a-)2+,
∴当a=时,(ab)最大=.
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