1、
高三第一学期期中考试数学（理）试题答案
一、 选择题
1.D 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.C 9.C 10.A
二、填空题
11. 12.[2,4] 13.π 14.(- ∞,-3) ∪(6, ﹢∞) 15. ①②④
三、解答题
16.（共12分）解：
(1) f(x)=a·b =2sin2x+2sinxcosx＝2×+sin2x=sin(2x-)+1
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k,得 -+kπ≤x≤+kπ，k
∴f(x)的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]( k)
2、 -----6分
(2)由题意得，g(x)=sin[2(x+)-]+1=sin(2x+)+1
由≤x≤得,≤2x+≤ ∴0≤g(x) ≤+1 ----12分
∴g(x)的最大值为+1，最小值为0
∴-a≥3或4-a＜-1, ∴a≤-3或a＞5
∴a的取值范围是（-∞，-3] ∪(5,+ ∞). ……12分
18.（共12分）解：(1)∵∴
即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-cosBsinA
∴sin（A+B）=2sin（B+C）即sinC=2sinA ∴=2 -----6分
3、
(2)由(1)得，==2 ∴c=2a
又∵b=2 ∴b2=c2+a2-2ac·cosB 即22=4a2+a2-2a×2a×,
解得a=1(负值舍去)，∴c=2, 又∵cosB=，∴sinB=,
故S△ABC=acsinB=×1×2×= -------12分
19、（共12分）
1-lnx
x2
20、（共13分）解：（1）∵h(x)= ，(x＞0) ∴h’(x)=
由h,(x)＞0且x＞0，得0＜x＜e，
由h,(x)＜0且x＞0，x＞e
∴函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞）
∴当x=e时，h(x)max=
4、 ------6分
（2）∵xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈(0，+∞)恒成立
即xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈(0，+∞)恒成立
亦即a≤lnx+x+对一切x∈(0，+∞）恒成立
x2+x-12
x2
(x-3)(x+4)
x2
设(x)=lnx+x+,’(x) ＝ ＝
∴在(x)在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增
∴(x)min＝(3)=7+ln3，
∴a≤7+ln3 --------13分
21、（共14分）解：(1)f’(x)=x
5、ax2= -ax(x-)
∴当f’(x)=0时，x=0或x= 又∵a>0
∴当x∈(-∞，0)时，f’(x)<0；当x∈(0，)时，f’(x)>0；
当x∈(，+∞)时，f’(x)<0
∴f(x)的微小值为f(0)=0；f(x)的极大值为f()= ---5分
(2) ∵a=e ∴g(x)=x2-ex3+ex(x-1) g’(x)=x(ex-ex+1)
①记h(x)=ex-ex+1 则h’(x)=ex-e
当x∈(-∞,1)时，h’(x)<0，h(x)是减函数
当x∈(1,+ ∞)时，h’(x)>0，h(x)是增函数 ∴h(x) ≥h(1)=1>0
6、
则在(0,+ ∞)上，g’(x)>0；在(-∞,0)上，g’(x)<0
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∴函数g(x)的单调递增区间是(0,+ ∞)，单调递减区间是(-∞,0).—10分
②证明：x>0时，g’(x)=x(ex-ex+1) ≥1+㏑x ，即ex-ex+1≥
由①得,h(x)=ex-ex+1≥1，记(x)=1+㏑x-x(x>0),则’(x)=
在区间(0,1)上，’(x)>0，(x)是增函数；
在区间(1,+ ∞)上，’(x)<0，(x)是减函数
∴(x) ≤(1)=0，即1+㏑x-x≤0，≤1
∴ex-ex+1≥1≥，即g,(x) ≥1+㏑x恒成立 ----14分
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