2021高考数学(文)一轮知能检测：第3章-第5节-两角和与差的正弦、余弦和正切.docx

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1．(2021·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，1　　　 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
解析：选A　由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为1.
2．(2022·嘉兴模拟)的值是(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　原式＝
＝
＝＝.
3．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A. B．－ C. D．－
解析：选C　cos＝cos
＝coscos＋sinsin，
∵0＜α＜，
则＜＋α＜，∴sin＝.
又－＜β＜0，则＜－＜，
∴sin＝.
故cos＝×＋×＝.
4．若sin θ＋cos θ＝，那么θ为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　由题意得sin＝，
∴sin＝，
∵0＜θ＜，∴θ＋＝，∴θ＝.
5．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．4
解析：选C　∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
6．已知sin＋sin α＝－，则cos等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
解析：选D　由sin＋sin α＝－，得
sin α＋cos α＋sin α＝－，
所以sin α＋cos α＝－，
故sin＝－，
于是sin＝－，
所以cos＝cos＝－sin＝.
7．已知tan＝2，则的值为________．
解析：由tan＝2，得＝2，∴tan x＝，
∴＝＝＝＝.
答案：
8．(2022·杭州模拟)已知sin x＋cos x＝1，则＝________.
解析：由于＝＝cos x－sin x，
由于(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝1，故或
代入解得＝cos x－sin x＝±1.
答案：±1
9． (2021·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
答案：－
10．已知α∈，β∈，cos 2β＝－，sin(α＋β)＝.
(1)求cos β的值；
(2)求sin α的值．
解：(1)cos2β＝＝＝，
又∵β∈，∴cos β＝－.
(2)由(1)知sin β＝＝ ＝.
由α∈，β∈，得(α＋β)∈.
cos(α＋β)＝－＝－ ＝－.
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝×－×＝.
11．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，这样就得到函数f(x)的图象，若g(x)＝f(x)cos x＋.
(1)将函数g(x)化成Asin(ωx＋φ)＋B其中A、ω＞0，φ∈的形式；
(2)若函数g(x)在区间上的最大值为2，试求θ0的最小值．
解：(1)由题意可得f(x)＝4sin，
∴g(x)＝4sincos x＋
＝4cos x＋
＝2＋
＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x－∈.
要使函数g(x)在上的最大值为2，当且仅当2θ0－≥，解得θ0≥，
故θ0的最小值为.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜，若a＝(1,1)，b＝(cos φ，－sin φ)，且a⊥b，又知函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴a·b＝cos φ－sin φ＝cos＝0，
∴φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.
又∵|φ|＜，∴φ＝.
∵函数f(x)的最小正周期T＝π，即＝π，ω＝2.
∴f(x)＝sin.
(2)由题意知，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
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1．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：选D　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin α＝＝ ＝，
sin(α＋β)＝＝ ＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝，
∴sin β＝＝ ＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
2．设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则
①f＝0；②＜；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．
以上结论正确的是________(写出全部正确结论的编号)．
解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝sin(2x＋φ)，由于对一切x∈R，f(x)≤恒成立，所以sin＝±1，可得φ＝kπ＋(k∈Z)，故f(x)＝±sin.而f＝±·sin＝0，所以①正确；＝＝，＝，所以＝，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f(x)＝sin和f(x)＝－sin的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错误．
答案：①③
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1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，为了得到g(x)＝－Acos ωx的图象，可以将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

解析：选B　由图象可知A＝1；∵T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2；由f＝sin＝－1，|φ|＜π知φ＝，∴函数f(x)＝sin＝sin 2的
图象要平移得到函数g(x)＝－cos 2x＝sin(2x－)＝sin 2的图象，需要将f(x)的图象向右平移－＝个单位长度．
2．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等．∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围为.
答案：