1、
高考压轴题训练(一)
1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.估量以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开头,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司期望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
解:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,
a2=a1(1+50%)-d=a
2、1-d=4500-d.
an+1=an(1+50%)-d=an-d.
(2)由(1)得an=an-1-d=(an-2-d)-d
=()2an-2-d-d=…
=()n-1a1-d[1++()2+…+()n-2].
整理得an=()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]
=()n-1(3000-3d)+2d.
由题意,知am=4000,
即()m-1(3000-3d)+2d=4000,
解得d==.
故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.
2.(2022宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ
3、的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l2交椭圆Γ于B、D两点.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最大值.
解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),
依题意=,a+c=3,
所以a=2,c=1.
所以b==,
故椭圆Γ的方程是+=1.
(2)由(1)知,F(1,0).
将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程
+=1,
可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,
其判别式Δ=(8k2)2-16
4、k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).
特殊地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则
|AC|=
=|x1-x2|
=· ,
k1∈R且k1≠0.
又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,
所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.
因此B、D到直线l1的距离之和
d=+
=
=
=·|x3-x4|
=·.
综合可得,四边形ABCD的面积
S=|AC|·d
=.
由于k1k2=-,
所以t=+≥2|k1k2|=,于是
S=f(t)
=
=6
=6
当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,
所以当t=,
即或时,
四边形ABCD的面积取得最大值.
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