1、习题课（二）
一、选择题
1．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( )
A．1 B．2
C．0 D．2sin2 α
解析：原式＝sin2 α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin2 α＋cos2 α＋1＝1＋1＝2.
答案：B
2．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：由题意知，sin θ＋sin θ＝m，
∴sin θ＝.
∴cos＋2sin(6π－θ)
＝－sin θ－2sin θ＝－3sin θ＝－.
答案：B
2、3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≤1 D．ω≤－1
解析：由函数y＝tan ωx在内是减函数，知其周期T≥π，即≥π，
∴|ω|≤1.即－1≤ω≤1.
又其与y＝tan x在 内的单调性相反，
∴ω＜0.∴－1≤ω＜0.
答案：B
4．已知函数f(x)＝πsin x，假如存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4π B．π
C．8π D．2π
解析：由于正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为
3、f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1－x2|的最小值为半周期，由于T＝＝8π，所以选A.
答案：A
二、填空题
5．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
解析：由题意知，T＝，
又1＜T＜3，
∴1＜＜3，
从而＜|ω|＜2π，
又ω是正整数，
所以ω＝3,4,5,6，
从而ω的最大值为6.
答案：6
6．函数y＝tan的值域为________．
解析：－≤x≤，且x≠0
∴≤－x≤且－x≠
∴tan≥1或tan≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
7．f(x)＝2si
4、n ωx(0＜ω＜1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.
解析：由于0≤x≤，所以0≤ωx≤ω＜.
所以f(x)在上是增函数，
所以f＝，即2sin＝，
所以ω＝，所以ω＝.
答案：
三、解答题
8．化简：.
解：.
＝
＝＝－1.
9．推断函数f(x)＝lg的奇偶性．
解：由>0，得tan x>1或tan x<－1，
∴函数定义域为∪
(k∈Z)关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
10．已知：f(x)＝2sin＋a＋1(a∈R，a为常数)．
(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期．
(2)若f(x)在上最大值与最小值之和为3，求a的值．
(3)求在(2)条件下f(x)的单调减区间．
解：(1)∵2sin
＝2sin＝2sin，
∴函数f(x)＝2sin＋a＋1的最小正周期T＝＝π.
(2)x∈⇒2x∈⇒2x＋∈.
∴－≤sin≤1.
即，∴2a＋3＝3⇒a＝0.
(3)f(x)＝2sin＋1.
当＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
即＋kπ≤x≤＋kπ时，
f(x)＝2sin＋1为减函数．
即在(2)条件下f(x)的单调减区间为
(k∈Z)．
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