高中数学(北师大版)必修五教案：2.1-正弦定理-参考教案2.docx

§1 正弦定理
教学目的：⑴使同学把握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和娴熟运用
教学过程：
设置情境 引出正弦定理
师：已知为直角三角形，你能得到哪些边角关系？
生1：在以为斜边的直角三角形中，有，

生2：还有
师：好！那么这个秀丽的关系式对等边三角形成立吗？对一般三角形还成立吗？
这节课我们就来争辩这一问题
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即== =2R（R为△ABC外接圆半径）
1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1
即　c=， c= ， c=． ∴==
2．斜三角形中
证明一：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴
同理 =2R，＝2R
证明二：（向量法）
过A作单位向量垂直于 由+=
两边同乘以单位向量 得 •(+)=•
则•+•=•
∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=| |•||cos(90°-A)
∴ ∴=
同理，若过C作垂直于得： =
∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角
讲解范例：
例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：，， 。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到）
分析：将分别延长相交于一点，在中，已知的长度和角与，可以通过正弦定理求的长
解：将分别延长交于一点，在中，，，，
由于，所以，
答：原玉佩两边的长分别约为
例2：台风中心位于某市正东方向300处，正以的速度向西北方向移动，距离台风中心范围内将会受其影响。假如台风风速不变，那么该市从何时起要患病台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到）？
分析：台风沿着运动时，由于，所以开头台风影响不了城
市，由点到台风移动路径的最小距离
所以台风在运动过程中确定要影响城市，这就要在上求影响的始点和终点，然后依据台风的速度计算台风从到持续的时间
解：设台风中心从点向西北方向沿射线移动，该市位于点的正西方向处的点，假设经过，台风中心到达点，则在中，
由正弦定理得知
利用计算器得角
当时，
所以，
同理：当时，，
答：约后将要患病台风影响，持续约
思考：通过这个问题的解决我们发觉，假如已知两边和其中一边的对角，解三角形时会毁灭两解的状况，还会毁灭其他状况吗？为什么有两个解？你还能用其他方法解决这个问题吗？
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种状况:
⑴若A为锐角时:

⑵若A为直角或钝角时:

无解 一解
课堂小结：
（1）正弦定理：
（2）正弦定理的证明
（3）正弦定理的应用范围
①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角
（4）解三角形时根的个数数问题
课堂练习：
1、已知在
解： ∴
由 得 由得

2、在
解：∵
∴
3、
解：

，

课后作业：

课后记：