湖南省衡阳八中2020-2021学年高一下学期期末考试-数学-Word版含答案.docx

衡阳市八中2021年下学期期末考试试题
高一数学
命题人：吕建设 审题人：钟小霖
（本卷共21道小题,考试时间120分钟,满分100分）
留意事项：答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡的密封线内．答题时,答案写在答题卡上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效．考试结束后,上交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1.
A. B. C. D.
2.若，则下列不等式确定成立的是 [来源:学科网ZXXK]
A． B． C． D．
3.已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则
A． B． C． D．
4.若的三内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，若，则
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和为，，，,则
A． B ． C． D．
6.在中的内角所对的边分别为，若,则 的外形为
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

7.如图所示，是的边上的中点，记，，则向量

A． B．
C． D．

8.设,记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列
A.是等比数列但不是等差数列 B.是等差数列但不是等比数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
9.灯塔A和灯塔B与海洋观看站C的距离都是10海里，灯塔A在观看站C的北偏东
40°，灯塔B在观看站C的南偏东20°，则灯塔A和灯塔B的距离为
A．10海里 B．20海里 C．海里 D．海里
10.已知是等差数列的前n项和,且 ，给出下列五个命题： ①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。其中正确命题的个数是
A．3 B．4 C．5 D．1

二、填空题（每小题3分,共5小题，满分15分）
11. 已知，若，则＝
12. 已知不等式的解集为,则实数的取值范围为
13、已知，则
14. 已知等差数列中，，且，则为
15. 已知平面内条直线，任意两条都相交，任意三条不共点，这条直线将平面分割成个区域，则

三、解答题（共6小题，满分55分）
16．（本小题满分7分）
在△中，角、、的对边分别为，若，
且． （1）求的值； （2）若，求△的面积．
17．（本小题满分8分）
已知，不等式的解集是，
（1）求的解析式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
18. （本小题满分9分）
若x，y满足，求：
（1）的最小值； （2）的范围.
（3）的最大值；

19．（本小题满分9分）
等比数列的各项均为正数，且
（1)求数列的通项公式；
（2）设 求数列的前n项和．
20. （本小题满分10分）
已知向量，设函数
且的最小正周期为.
（1）求的单调递增区间；
（2）先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上上的取值范围.
21．（本小题满分12分）
我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由
衡阳市八中2021年上学期期末考试答案
高一数学
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
ADBBD ACADA
二、填空题（每小题3分,共5小题，满分15分）
11. 12 . 13.
14， 15.
三、解答题（共6小题，满分55分）
16．（本小题满分7分）
在△中，角、、的对边分别为，若，
且．（1）求的值； （2）若，求△的面积．
解析：（1）∵, ∴
∴

（2）由（1）可得
在△中，由正弦定理 ∴ ,
∴．
17．（本小题满分8分）
已知，不等式的解集是，
（1）求的解析式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
解析：（1），不等式的解集是，
所以的解集是，所以和是方程的两个根，
由韦达定理知，.
（2） 恒成立等价于恒成立,
所以的最大值小于或等于0.设，
则由二次函数的图象可知在区间为减函数，
所以，所以.
18. （本小题满分9分）
若x，y满足，求：
（1）的最小值； （2）的范围.
（3）的最大值；
解析：

作出满足已知条件的可行域为△ABC内（及边界）区域，其中A（1,2），B（2,1），C（3, 4）.
（1）目标函数，表示直线：，表示该直线纵截距，当过点A（1,2）时纵截距有最小值，故.
（2）目标函数表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB的距离且垂足是D在线段AB上，故，即
（3）目标函数，记.
则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即，即.
19．（本小题满分9分）
等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和．
解析：（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。 由得，所以。
故数列的通项式为an=。
（Ⅱ）
故
所以数列的前n项和为
20. （本小题满分10分）
已知向量，设函数
且的最小正周期为.
（1）求的单调递增区间；
（2）先将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上上的取值范围.

故的单调递增区间是
（2）
、

，即的取值范围为
21．（本小题满分12分）
我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由
（1）∵ ，
∴ ，
∴数列是等比数列；
（2）∵ ，∴ ， ，
不等式化为：对任意正整数恒成立.
设.
又 ，
∴ 数列单调递增，，
要使不等式恒成立，只要， ，得
∴ 使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是.
（3）∵，∴ ，
假设 中的第 项最小，由 ，，∴，
当时，有，由可得，即，∴ ，，或（舍），
∴ ，即有，
由，得， 又，∴ ；
故数列中存在最小项，最小项是