2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第五章第2课时.docx

[基础达标]
1．(2022·河北省唐山质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是(　　)
A． B．4
C．－4 D．－3
解析：选B．∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.
2．(2022·辽宁大连市双基测试)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a5＝15，且a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：选B．设数列{an}的公差为d，由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，由a1a2a3＝80，得a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，故25－d2＝16，d＝3，则a1＝2，a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝6＋99＝105.
3．(2022·安徽望江中学第九次模拟)设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：选C．由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．
4．(2021·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
解析：选D．由于d>0，所以an＋1>an，所以p1是真命题．由于n＋1>n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题．同理p3是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，所以p4是真命题．
5．(2022·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1 ＝2(n∈N*且n≥2)，则a81＝(　　)
A．638 B．639
C．640 D．641
解析：选C．由已知Sn－Sn－1 ＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640.
6．(2021·高考广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
解析：法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.
法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10，3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.
答案：20
7．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5，3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________．
解析：∵点(n，an)在定直线l上，
∴数列{an}为等差数列，∴an＝a1＋(n－1)D．
将(5，3)代入，得3＝a1＋4d＝a5.
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝3×9＝27.
答案：27
8．(2022·河南三市调研)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案：130
9．(2022·浙江温州市适应性测试)已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得，
(2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0，
得d＝2.
故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，
得an＝2n.
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
＝＋
＝n(n＋1)＋.
10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，
也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，
则an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相冲突，
所以an－1＝an－1，
即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式
an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.
[力气提升]
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．当r＝1时，易知数列{an}为等差数列；由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{an}是等差数列时，a2－a1＝a3－a2，即2r－1＝2r2－r，解得r＝或r＝1，故“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件．
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为(　　)
A．{5} B．{6}
C．{5，6} D．{7}
解析：选C．在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0得，
S10＝>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，
S11＝＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6.
3．(2022·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
解析：设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝210，Sn＝，∴210＝，∴n＝6.
答案：6
4．(2022·福建龙岩质检)已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b2＝－2，b7＝8，则a8＝________．
解析：∵{bn}为等差数列，且b2＝－2，b7＝8，设其公差为d，∴b7－b2＝5d，即8＋2＝5D．∴d＝2.
∴bn＝－2＋(n－2)×2＝2n－6.
∴an＋1－an＝2n－6.
由a2－a1＝2×1－6，a3－a2＝2×2－6，…，an－an－1＝2×(n－1)－6，累加得：an－a1＝2×(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n2－7n＋6，∴an＝n2－7n＋8.∴a8＝16.
答案：16
5．(2022·山东济南模拟)设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列．
(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；
(2)推断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，
解得a1＝8，d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
(2)由－Sn＋1＝
＝＝＝－1＜0，
得＜Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.
而Sn＝－n2＋9n＝－＋(n∈N*)，
则当n＝4或5时，Sn有最大值20，
即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.
综上，数列{Sn}是“特界”数列．

6．(选做题)(2022·广东深圳质检)各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．
(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2an＋2，m)与向量b＝(－an＋5，3＋an)垂直？说明理由．
解：(1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，
即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.
当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，
解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．
(2)a＝4Sn－2an－1，①
a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②
②－①得：a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an
＝2(an＋1＋an)，
即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．
∵数列{an}各项均为正数，
∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)∵an＝2n－1，
∴a＝(2an＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，
b＝(－an＋5，3＋an)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，
∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]
⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋.
∵m，n∈N*，
∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.
∴当n＝6，m＝45时，a⊥B．