2022高考总复习(人教A版)高中数学-专题讲-座一-范围与最值问题.docx

专题讲座一范围与最值问题最值、范围问题是历年高考的热点问题，经久不衰最值与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线中考查解题的关键是不等关系的建立，其途径很多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数性质法，数形结合法等等下面介绍一下函数与导数中的最值与范围问题函数的最值函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，很多最值问题最终总是转化为函数(特殊是二次函数)的最值问题求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等(1)对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_；(2)已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，则函数y的最小值是_解析 (1)由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其图象如图所示由图形，易知当x时，函数有最小值，所以f(x)minf. (2)y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex，则f(t)t22at2a22.由于t2，所以f(t)t22at2a22(ta)2a22的定义域为2，)由于抛物线yf(t)的对称轴为ta，所以当a2且a0时，yminf(2)2(a1)2；当a2时，yminf(a)a22.又f(t)的定义域为2，)，故y的最小值是a22.答案(1)(2)a22规律方法第(1)题是将问题转化为分段函数的最值问题后，再利用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是先画出图形，从而借助图形直观地解决问题第(2)题首先利用换元法转化为二次函数，再利用二次函数的性质求最值，求解中要特殊留意自变量的取值范围实际问题中的最值在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值(2021江苏徐州检测)现有一张长为80 cm，宽为60 cm的长方形铁皮ABCD，预备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)(1)求出x与y的关系式； (2)求该铁皮盒体积V的最大值解(1)由题意得x24xy4 800，即y，0x60.(2)铁皮盒体积V(x)x2yx2x31 200x，V(x)x21 200.令V(x)0，得x40，由于x(0，40)时，V(x)0，V(x)是增函数；x(40，60)时，V(x)0，V(x)是减函数，所以V(x)x31 200x在x40时取得极大值，也是最大值，且最大值为32 000 cm3.所以该铁皮盒体积V的最大值是32 000 cm3.规律方法本题是求几何体体积的最值，求解思路是构建目标函数，再利用导数争辩函数的最值参数范围的确定函数的最值多与参数范围结合命题，求最值时，多利用分类争辩思想，由最值问题求参数可转化为恒成立问题求解(2021陕西西安模拟)已知函数f(x)(a0，aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，若对任意x1，x23，)，有f(x1)f(x2)m成立，求实数m的最小值解f(x).令f(x)0，解得xa或x3a.(1)当a0时，f(x)，f(x)随着x的变化如下表：x(，3a)3a(3a，a)a(a，)f(x)00f(x)微小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(3a，a)，函数f(x)的单调递减区间是(，3a)，(a，)当a1时，f(x)0，所以f(x)在3，)上的最小值为f(3)，最大值为f(1).所以对任意x1，x23，)，f(x1)f(x2)f(1)f(3).所以对任意x1，x23，)，使f(x1)f(x2)m恒成立的实数m的最小值为.规律方法恒成立问题可以转化为我们较为生疏的求最值的问题进行求解，如本题中求m的最小值，转化为求f(x1)f(x2)的最大值1(2022高考浙江卷改编)已知函数f(x)x33|xa|(a0)，若f(x)在1，1上的最小值记为g(a)求g(a)解：由于a0，1x1，所以(1)当0a1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(a，1)上是增函数所以g(a)f(a)a3.(2)当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1，1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)2某集团为了获得更大的利润，每年要投入确定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额为t25t(百万元)(0t3)(1)若该集团将当年的广告费把握在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团预备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)请设计一个资金支配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大解：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)所以当t2时，f(t)max4，即当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)对g(x)求导，得g(x)x24，令g(x)x240，得x2或x2(舍去)当0x2时，g(x)0，即g(x)在0，2)上单调递增；当2x3时，g(x)0，即g(x)在(2，3上单调递减当x2时，g(x)maxg(2).故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益为百万元3(2021贵州省六校联盟第一次联考)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解：(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x，x，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是，解得1m2，实数m的取值范围是.4(2021河南省洛阳市统考)已知函数f(x)ln x1.(1)若函数f(x)在1，2上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a1，kR且k，设F(x)f(x)(k1)ln x1，求函数F(x)在上的最大值和最小值解：(1)由题设可得f(x)的定义域为(0，)，f(x).明显a0.函数f(x)在1，2上单调递减，当x1，2时，不等式f(x)0恒成立，即x恒成立2，0a，实数a的取值范围是.(2)a1，kR，f(x)ln x1，F(x)f(x)(k1)ln x1kln x，F(x).若k0，则F(x)，在上，恒有F(x)0，F(x)在上单调递减，F(x)minF(e)，F(x)maxFe1.若k0，F(x).()若k0，在上，恒有0，ke，x0，0，F(x)在上单调递减，F(x)minF(e)kln ek1，F(x)maxFek1.综上，当k0时，F(x)minF(e)，F(x)maxFe1；当k0，且k时，F(x)minF(e)k1，F(x)maxFek1.