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“无理方程”教案

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§21.4无理方程(一)
[教学目标]
1. 知道无理方程、代数方程的概念，并会识别无理方程；
2. 经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想；
3. 会解简单的无理方程，，知道解无理方程需要检验，及如何检验。
[教学重点]
掌握简单的无理方程的解法
[教学难点]
了解无理方程产生增根的原因
[教学方法]
带领学生类比学习，探究新知。
[教学过程]
问题1∶已知平面直角坐标系内的A、B两点。其中点A坐标，点B是轴上的点，且A、B两点间的距离等于5，求点B的坐标。
解∶由点B在轴上，可设点坐标为，
由两点间距离公式，得∶
即∶ ①
[师述∶]大家能谈谈方程①的特点吗？
[学生回答]∶这个方程的根号里含有未知数。
[师述∶]如果让你给这种根号里含有未知数的新方程起个名，你会怎么称呼它？（停顿，让学生稍微思考一下）
[学生回答] ∶这是根式方程，无理方程…………………
[师述]∶根式方程这个名称倒是挺形象的。那无理方程（停顿，让学生稍微思考一下）同学们不妨回顾一下数与式。我们都知道实数可分为有理数和无理数，有理数又可分为整数和分数（同时板书）。而代数式可分为有理式和无理式，有理式又可分为整式和分式。通过比较，我们可以看到代数式和实数分类结构相同，如下图所示∶
，
[师述]∶那我们现在来看方程的分类。我们学过的一元一次方程，二元一次方程（组）,一元高次方程，都属于整式方程，前阶段我们还学过分式方程。由类比，我们把整式方程和分式方程统称有理方程，而我们刚才列出的方程①就是无理方程。
[师述∶]我们给出无理方程的概念∶方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。（同时让学生把书翻开P.40，把定义划下来）我们继续定义∶有理方程和无理方程统称代数方程。代数方程结构如下∶

在黑板上写无理方程的定义时∶可写为含有未知数的方程叫做无理方程。

问题2∶试判断下列方程中哪些方程是无理方程。
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
解∶(1)是一元一次方程，(3)是二元一次方程，都属于整式方程；(5)是分式方程，而(2)、(4)、(6)、(7)、 (8)都是无理方程，以上八个方程都是代数方程。
[师述∶]现在，我们知道无理方程的概念了。接下来，该一起来探究无理方程的解法了。我们不妨来研究问题2中的方程（2）。

问题3∶解无理方程（2） ②
解∶方程两边平方，得∶
整理得∶ ③

[师问]∶请问同学们，你平方的目的是什么？
[学生回答]∶两边平方去掉了根号，把无理方程化成了有理方程。
[师述]∶同学们回答得非常好，通过平方我们把无理方程的求解化归到有理化的求解，显然有理方程我们是会解的。 同时板书 学生继续求解

∴
[师生共同探讨]∶不是方程②的解，那我们是不是方程解错了？学生稍作停留，回答说没有。但却是方程③的解，这是为什么呢？（把问题抛给学生。）
[学生回答]∶平方，平方把无理方程化为了有理方程，但是.......，原方程中未知数允许取值的范围扩大了，如方程②平方前未知数x的取值范围是，而方程②平方后未知数x允许的取值范围是一切实数，平方使未知数x的取值范围扩大了。所以也就产生了增根。
[师述]:很好。看来由于解无理方程会产生增根。因此有检验的必要。现在我们就以方程②为例，来进行检验。那怎样检验呢？停顿能像分式方程那样检验吗？......只能把解依次代入原方程的左右两边，加以检验。如果左=右，解是原方程的解，否则，解是原方程的增根，要舍去。
[师述]∶老师带领学生在黑板上进行一次检验。
检验∶当时，方程②，右边=4，可知是方程②的根；
当时，方程②，右边=-1，而右边不可能是负数，可知是方程②的增根，应舍去。
所以，方程②的解是
[师问]:通过刚才的探究，我们初步掌握了解无理方程的步骤。那现在我们一起把问题1中的无理方程解完好吗？
学生解，教师准备好，然后投影。
[师述]∶那这个方程怎么没产生增根呢？
[学生回答]∶方程①平方前后未知数x的取值范围都是一切实数，没有变化，所以没有产生增根。
归纳
解简单无理方程的一般步骤，可用流程图表示为∶
开始

平方，去根号（无理方程有理化）

解有理方程

检验
是 否

原方程的解 是增根，舍去

写出原方程的解，结束
课堂小结：本节课你的收获是什么？
1． 通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？
学生答∶知道了无理方程的概念，探究了其解法。解法中，通过平方将无理方程化归为有理化求解。我们还探究了无理方程产生增根的原因。
教师补充∶前面我们学过的分式方程，通过去分母使分式方程整式化，也体现了化归的数学思想。
2． 你领悟了哪些常用数学思想与方法？
答∶类比法，化归思想。
备用练习∶解问题2中的无理方程（8）∶
解∶移项∶
两边平方，得∶
整理得∶

检验∶是原方程的增根，舍去。而是原方程的解。

[布置作业]
完成练习册P.18-19习题21.4(1)
板书设计
A
B
C
D
挂例题，实物投影
无理方程板书
一 概念
1．
2．根号内含有未知数的方程叫无理方程。

二 解法
1．化归∶“无理方程” 平方 “有理方程”
2．注意点∶无理方程需检验
解方程区域
可擦写区域，
小结归纳

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