1、高二数学随堂练习：双曲线的几何性质
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为
3．双曲线－＝1与－＝1具有
①．相同的焦点 ②．相同的虚轴长
③．相同的渐近线 ④．相同的实轴长
4．方程x2＋(k－1)y2＝k＋1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是
5．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于
6．双曲线－＝1的渐近线方程是________．
7．椭圆＋＝1与双曲
2、线－y2＝1焦点相同，则a＝________.
8．双曲线的中心在原点，离心率e＝3，焦距为6，则双曲线方程为__________．
9．(2008·安徽)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
10．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
11．求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．
12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；
3、
(3)求△F1MF2的面积．
参考答案
1..－＝1
2.－
3.①
4. -1＜k＜1
[解析] 方程x2＋(k－1)y2＝k＋1，
可化为＋＝1，∵双曲线的焦点在x轴上，
∴k＋1>0且<0，∴－14、[解析] ∵焦距为6，
∴c＝3，由e＝3得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8.
由于焦点不确定在x轴或y轴，所以双曲线方程为x2－＝1或y2－＝1.
9. 4
[解析] ①当时，则有＝()2，
∴n＝4.阅历证，符合题意．
②当时无解．
10.[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为
3x＋4y＝0，∴设双曲线的方程为－＝λ，
由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝.
∴所求的双曲线方程为－＝1.
11.[解析] 双曲线方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1.
∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，焦点坐标为(，0)．(－，0)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
12.[解析] (1)由于e＝，所以双曲线为等轴双曲线，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，由于过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)易知F1(－2，0)，F2(2，0)，所以kMF1＝，kMF2＝，所以kMF1·kMF2＝＝－，由于点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，所以，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.
(3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝4，F1F2上的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝|F1F2|·|m|＝6.
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