1、
规范练(二) 立体几何问题
1. 在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．
(1)求证：AB∥平面DEG；
(2)求证：EG⊥平面BDF.
证明 (1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.又∵BC＝2AD，G是BC的中点，
∴AD綊BG，∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG.
∵E
2、F綊BG，EF＝BE，
∴四边形BGFE为菱形，
∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF⊂平面BFD，
DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF.
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明 (1)如图，在△PAD中，由于E，F分别为AP，AD的中点，
所以EF∥PD.又由于EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.由于AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形
3、．
由于F是AD的中点，所以BF⊥AD.
由于平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又由于BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)由于平面PAD∩平面ABCD＝AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.
所以PA⊥底面ABC
4、D.
(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.
又由于BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)由于AB⊥AD，
且四边形ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.又由于PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，
又E，F分别是CD和CP的中点，
所以EF∥PD，故CD⊥EF.
由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，
所以
5、CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.
4．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB＝VA＝VB＝VC.
(1)求证：OD∥平面VBC；
(2)求证：AC⊥平面VOD.
证明 (1)∵O、D分别是AB和AC的中点，
∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，
∴OD∥平面VBC.
(2)∵VA＝VB，O为AB中点，∴VO⊥AB.
连接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC，∴△VOA≌△VOC，
∴∠VOA＝∠VOC＝90°，∴VO⊥OC.
又∵AB∩OC＝O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴VO⊥平面ABC.
又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO.
又∵VA＝VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD.
∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VO∩VD＝V，
∴AC⊥平面VOD.
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