2021版《·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业7-等比数列的概念和通项公式.docx

课时作业7　等比数列的概念和通项公式
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D.
【答案】　D
【解析】　由a2＝2，a5＝，知＝2q3，即q3＝，所以q＝.故选D.
2．在等比数列{an}中，已知a1a2a12＝64，则a4a6的值为(　　)
A．16 B．24
C．48 D．128
【答案】　A
【解析】　设公比为q，则a1a2a12＝aq12＝64，
所以a1q4＝4.所以a4a6＝(a1q4)2＝16
3．等比数列{an}中，若a2＋a3＝3，a4＋a5＝9，则a6＋a7等于(　　)
A．12 B．27
C．18 D．16
【答案】　B
【解析】　∵{an}为等比数列，∴a4＋a5＝(a2＋a3)q2，即9＝3q2，
∴q2＝3，∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝9×3＝27.
4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＋a3的值为(　　)
A．－6 B．－8
C．－10 D．－12
【答案】　C
【解析】　∵a1，a3，a4成等比数列，∴a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，
即a1(a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，
a2＋a3＝(－8＋2)＋(－8＋4)＝－10.
5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)
A．64 B．81
C．128 D．243
【答案】　A
【解析】　设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，
∴3a1＝3.
∴a1＝1，∴a7＝26＝64.
6．公差不为0的等差数列{an}的其次、三、六项构成等比数列，则公比为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】　C
【解析】　设{an}的公差为d，
由已知，得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
∴d＝－2a1，
∴a2＝a1＋d＝－a1，a3＝a1＋2d＝－3a1，
∴公比q＝＝3.
7．已知0
【解析】　＝q3＝－，∴q＝－，∴an＝a2qn－2＝4×(－)n－2＝(－)n－4.
9．已知在等比数列{an}中，各项均为正数，且a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，则数列{an}的通项公式是an＝________.
【答案】　2n－1
【解析】　设公比为q，则1＋q＋q2＝7，
解得q＝2或q＝－3(舍)，∴an＝2n－1.
10．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于________．
【答案】　＋
【解析】　由题意，知＝，则a＝a1a6.设数列{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d＝或d＝0(舍去)，所以数列{an}的前n项和Sn＝2n＋×＝＋.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知{an}是公比不等于－1的等比数列，且bn＝an＋an＋1对一切正整数成立，求证{bn}也是等比数列．
【分析】　证明{bn}是等比数列，可通过证明bn·bn＋2＝b成立．
【解析】　∵{an}是等比数列，∴a＝an·an＋2(n∈N＋)．
bn·bn＋2＝(an＋an＋1)(an＋2＋an＋3)
＝anan＋2＋an＋1an＋2＋anan＋3＋an＋1an＋3
＝a＋2an＋1·an＋2＋a
＝(an＋1＋an＋2)2＝b.
又q≠－1，∴bn≠0，n∈N＋，∴{bn}成等比数列．
12．(15分)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.
【解析】　∵b1＋b2＋b3＝3
∴log2a1＋log2a2＋log2a3＝3
即log2(a1a2a3)＝3，∴a1a2a3＝8
∵{an}为等比数列，∴a＝8　a2＝2
又∵b1b2b3＝－3，∴log2a1log2a2log2a3＝－3，
设等比数列{an}的公比为q，则有：
log2·log22·log22q＝－3
∴(1－log2q)(1＋log2q)＝－3，
∴q＝4或，
∴所求等比数列的通项公式为
an＝a2qn－2即an＝22n－3或an＝25－2n.
13．(20分)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成等比数列，且公比不等于1.
(1)求c的值；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】　(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
由于a1，a2，a3成等比数列，
所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，
解得c＝0或c＝2.
当c＝0时，a1＝a2＝a3，
不符合题意，舍去，
故c＝2.
(2)当n≥2时，由于a2－a1＝c，
a3－a2＝2c，…，
an－an－1＝(n－1)c，
以上(n－1)个式子相加得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c.
又a1＝2，c＝2，
故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n≥2)．
当n＝1时，上式也成立，
所以an＝n2－n＋2.