1、
基础巩固题组
(建议用时：50分钟)
一、填空题
1．已知变换T：→＝，则该变换矩阵为________．
解析 可写成＝.
答案
2．计算等于________．
解析 ＝＝.
答案
3．矩阵的逆矩阵为________．
解析 ＝5，∴的逆矩阵为.
答案
4．若矩阵A＝把直线l：2x＋y－7＝0变换成另始终线l′：9x＋y－91＝0，则a＝________，b＝________．
解析 取l上两点(0，7)和(3.5，0)，
则＝，＝.
由已知(7a，91)，(10.5，3.5b)在l′上，代入得a＝0，b＝－1.
答案 0 －1
5．矩阵M＝的特
2、征值为________．
解析 f(λ)＝＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.
∴λ＝0或λ＝3.
答案 0或3
6．已知矩阵M＝，α＝，β＝，则M(2α＋4β)＝________．
解析 2α＋4β＝＋＝，M(2α＋4β)＝＝.
答案
7．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换为曲线C2，则C2的方程为________．
解析 设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，
则＝，即⇒
由于P′是曲线C1上的点，
所以C2的方程为(x－2y)2＋y2＝1.
答案 (x－2y)2＋y2＝1
8．已知矩阵A＝，B＝
3、则满足AX＝B的二阶矩阵X为________．
解析 由题意，得A－1＝，∵AX＝B，
∴X＝A－1B＝＝.
答案
9．已知矩阵A将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是，则矩阵A为________．
解析 设A＝，由＝，得
由＝3＝，得所以
所以A＝.
答案
二、解答题
10．(2022·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．
解 由于AA－1＝E，所以A＝(A－1)－1.
由于A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，
于是矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝
4、4.
11．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.
(1)求矩阵A；(2)若向量β＝，计算A5β的值．
解 (1)A＝.
(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝，当λ2＝3时，得α2＝.
由β＝mα1＋nα2，得解得m＝3，n＝1.
∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.
12．(2022·福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
解 (1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．
由＝＝，得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，
依题意得解得或
由于a＞0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝＝.
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
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